希爾伯特的23個數學問題

#	主旨	進展	說明
1	連續統假設	部分解決	1963年美國數學家保羅·柯恩以力迫法證明連續統假設不能由策梅洛-弗蘭克爾集合論（無論是否含選擇公理）推導。也就是說，連續統假設成立與否無法由ZF/ZFC確定。
2	算術公理之相容性	部分解決	库尔特·哥德尔在1931年證明了哥德爾不完備定理，但此定理是否已回答了希爾伯特的原始問題，數學界沒有共識。
3	兩四面體有相同體積之證明法	已解決	答案：否。1900年，希爾伯特的學生馬克斯·登以一反例證明了是不可以的。
4	建立所有度量空間使得所有線段為測地線	已解決	滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。在對稱距離情況下，問題獲解決。
5	所有連續群是否皆為可微群	已解決	1953年日本數學家山邊英彥證明在無「小的子群」情況下，答案是肯定的；但此定理是否已回答了希爾伯特的原始問題，數學界仍有爭論。
6	公理化物理	部分解決	希爾伯特後來對這個問題進一步解釋，而他自己也進一步研究這個問題。科摩哥洛夫對此也有貢獻。然而，儘管公理化已經開始滲透到物理當中，量子力學中仍有至今不能邏輯自洽的部分，故該問題未完全解決。
7	若b是無理數、a是除0、1之外的代數數，那麼ab是否超越數	已解決	答案：是。分別於1934年、1935年由蘇聯數學家亞歷山大·格爾豐德與德國數學家特奧多爾·施耐德獨立地解決。
8	黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孿生質數猜想	未解決	雖然分別有比較重要的突破和被解決的弱化情況，三個問題均仍未被解決。
9	任意代數數體的一般互反律	部分解決	1927年德國的埃米爾·阿廷證明在阿貝爾擴張的情況下答案是肯定的；此外的情況則尚未證明。
10	不定方程式可解性	已解決	答案：否。1970年由蘇聯數學家尤里·馬季亞謝維奇證明。
11	代數係數之二次形式	部分解決	有理數的部分由哈塞於1923年解決。
12	一般代數數體的阿貝爾擴張	未解決	埃里希·赫克於1912年用希爾伯特模形式研究了實二次體的情形。虛二次體的情形用複乘理論已基本解決。一般情況下則尚未解決。
13	以二元函數解任意七次方程式	部分解決	1957年蘇聯數學家科摩哥洛夫和弗拉基米爾·阿諾爾德證明對於單值解析函數，答案是否定的；然而希爾伯特原本可能希望證明的是代數函數的情形，因此該問題未獲得完全解答。
14	證明一些函數完全系統之有限性	已解決	答案：否。1962年日本人永田雅宜提出反例。
15	舒伯特演算之嚴格基礎	部分解決	一部分在1938年由范德瓦爾登得到嚴謹的證明。
16	代數曲線及表面之拓撲結構	未解決	此問題進展緩慢，即使對於度為8的代數曲線也沒有證明。
17	把有理函數寫成平方和分式	已解決	答案：是。1927年埃米爾·阿廷解決此問題，並提出實封閉體。
18	非正多面體能否密鋪空間、球體最緊密的排列	已解決	1911年比伯巴赫做出「n維歐氏幾何空間只允許有限多種兩兩不等價的空間群」；萊因哈特證明不規則多面體亦可填滿空間；托馬斯·黑爾斯於1998年提出了初步證明，並於2014年8月10日用計算機完成了克卜勒猜想的形式化證明，證明球體最緊密的排列是面心立方和六方最密兩種方式。
19	拉格朗日系統（Lagrangian）之解是否皆可解析	已解決	答案：是。1956年至1958年恩尼奧·德喬吉和約翰·福布斯·納什分別用不同方法證明。
20	所有邊值問題是否都有解	已解決	實際上工程和科研中遇到的邊值問題都是適定的，因而都可以確定是否有解。
21	證明有線性微分方程式有給定的單值群	已解決	此問題的答案取決於問題的表述：部分情況下是肯定的，部分情況下則是否定的。
22	將解析關係（analytic relations）以自守函數一致化	部分解決	1904年由保羅·克伯和龐加萊取得部分解決。詳見單值化定理。
23	變分法的長遠發展	開放性問題	包括希爾伯特本人、昂利·勒貝格、雅克·阿達馬等數學家皆投身於此。理察·貝爾曼提出的動態規劃可作為變分法的替代。