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CFUV/cap_apl_derivadas/cap_apl_derivadas.tex

@@ -4,8 +4,76 @@ \chapter{Aplicações das derivadas}\label{cap:apl_derivadas}\index{aplicações
 
 \emconstrucao
 
+	A ideia deste capítulo é desenvolver algumas aplicações a partir do que foi construída anteriormente. Além disso, esta seção também busca fornecer ao leitor uma justificativa teórica do porquê as derivadas são importantes. 
+
+	É interessante sempre ter em mente que a derivada de uma função $f$ em um ponto é uma propriedade local, i.e., que determina o comportamento da função ``perto'' do ponto em questão. Contudo, em uma primeira viagem, pode não ser exatamente nítido de que maneira podemos relacionar uma propriedade local (a derivada da $f$) com uma global (o comportamento da $f$). Esta relação entre o global e o local ficará mais evidente ao decorrer do texto, principalmente quando for abordado o Teorema Fundamental do Cálculo. Entretanto, este capítulo já é um bom começo para entender a importância do conceito de derivada e como ela pode ajudar no estudo de funções.
+
+	Antes de realmente mergulhar nas contas, é importante destacar que seria interessante o leitor manter sempre consigo a ideia que deu luz ao conceito de derivada: a reta tangente. Ter isto em mente a todo o momento facilita a visualização e ajuda a criar uma intuição sobre o assunto. Abaixo, provaremos uma série de propriedades que, ao enunciadas, realmente ``parecem'' ser verdadeiras. Porém, ``parecem'' apenas sobre a perspectiva de quem realmente domina o alicerce fundamental sobre o qual a derivada foi construída. E desenvolver essa intuição é essencial para a compreensão do assunto como um todo.
+
 \section{Teorema do valor médio}\index{teorema!do valor médio}
 \construirSec
+Vamos primeiramente enunciar o teorema:
+	\begin{teo}[Teorema do valor médio]
+		Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que $f$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, então existe $c \in (a,b)$ tal que:
+		$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$
+	\end{teo}
+	Antes de passar diretamente para a prova do teorema, é interessante que o leitor entenda o sentido da equação a acima. Observe que o lado direito representa a taxa de variação instantânea em um ponto, enquanto o lado esquerdo, a taxa de variação média no intervalo. Logo, dentro das hipóteses do teorema, estamos afirmando que a taxa de variação média coincide com a instantânea em pelo menos um ponto do intervalo. 
+
+	Para entender a importância disto, vamos estudar primeiramente um caso discreto: imagine que queremos calcular a média aritmética de uma certa quantidade de números reais positivos. Nesta situação, é possível que nenhum valor da amostra coincida com o valor da média. Um exemplo simples onde isso acontece é com os números $8,10$, que possuem média $9$. O problema aqui é que (dentre possíveis outras coisas) estamos ``pulando'' valores, justamente por estarmos trabalhando em um contexto discreto. No caso contínuo, isso não acontece. Sabemos que dada uma função contínua e dois elementos de sua imagem, ela sempre assume todos os valores entre esses elementos (teorema do valor intermediário).
+
+	Veremos que atacar este problema utilizando a continuidade da função será o caminho que nos permitirá demonstrar o teorema. A maneira mais comum de prová-lo é utilizando um teorema auxiliar, chamado teorema de Rolle, que nada mais é que um caso especial do nosso objetivo principal.
+	\begin{teo}[Teorema de Rolle]
+		Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que $f$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, com $f(a) = f(b)$. Então existe $c \in (a,b)$ tal que:
+		$$f'(c) = 0$$
+	\end{teo}
+	\begin{proof}[Prova do teorema de Rolle]
+		Como $f$ é contínua, podemos separar a demonstração em 3 casos:
+		\begin{description}
+			\item[Caso 1:] $f$ assume o seu mínimo em $(a,b)$:
+
+			Digamos que $f$ assuma seu mínimo em $c \in (a,b)$, logo $c$ é ponto crítico de $f$. Portanto, $f'(c)=0$.
+			\item[Caso 2:] $f$ assume o seu máximo em $(a,b)$:
+
+			Analogamente, suponha que $f$ assuma seu máximo em $c \in (a,b)$, logo $c$ é ponto crítico de $f$ e, da mesma maneira, temos $f'(c)=0$.
+			\item[Caso 3:] $f$ não assume o seu máximo nem mínimo em $(a,b)$:
+
+			Neste caso, observe que $f$ deve assumir seu máximo em algum dos pontos $a$ ou $b$, assim como também deve assumir seu mínimo nesses pontos. Como $f(a) = f(b)$, temos que o máximo e o mínimo de $f$ coincidem em $[a,b]$, logo $f$ é constante em $[a,b]$, ou seja $f'(x)=0$ para todo $x \in (a,b)$.
+
+			Em cada um dos casos, garantimos a existência de um $c\in(a,b)$ tal que $f'(c) =0$, o que conclui a demonstração.
+		\end{description}
+	\end{proof}
+
+	Agora, com esta ferramenta, podemos prosseguir com a demonstração de um dos teoremas mais importantes dessa seção:
+
+	\begin{proof}[Prova do teorema do valor médio]
+		Vamos definir $g:[a,b]\to\mathbb{R}$, tal que:
+		$$g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$$
+		observe que $g$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, pois é uma combinação linear de funções com estas propriedades. Ainda:
+		$$g(a)= f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(a-a) = f(a)$$
+		$$g(b)= f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(b-a) = f(b) - (f(b)-f(a)) = f(a)$$
+
+		Logo $g(a)=g(b)$. Portanto, pelo teorema de Rolle, temos que existe $c\in(a,b)$, tal que $g'(c)=0$. Agora, observe que:
+
+		$$g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$
+		Logo, temos:
+		$$g'(c)= 0 = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \iff f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$
+		Com isso, obtivemos $c\in (a,b)$, tal que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$ e isto conclui a demonstração
+	\end{proof}
+
+	Finalizamos a discussão sobre o Teorema do valor médio com um corolário importante.
+	\begin{cor}
+		Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que $f$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$. Se $f'(x)=0$ para todo $x\in(a,b)$, então existe $A\in\mathbb{R}$, tal que $f(x)=A$ para todo $x\in[a,b]$. 
+	\end{cor}
+	Em outras palavras, se a taxa de variação de uma função é nula, então ela não varia (obvio!).
+
+	\begin{proof}[Prova]
+		Vamos mostrar que $f(x) = f(a) = A$ para todo $x\in[a,b]$.:
+
+		 Se $x=a$, a igualdade é trivial. Caso $x\in(a,b]$, então pelo teorema do valor médio, existe $c\in(a,x)$ tal que:
+		 $$\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(c) = 0$$
+		 Logo, $f(x) = f(a) = A$ para $x\in(a,b]$. Com isso, temos $f(x)= A$ para todo $x\in[a,b]$, finalizando a demonstração.
+
+	\end{proof}
 
 \subsection*{Exercícios resolvidos}