Di dalam sub bab ini, kita akan belajar tentang apa itu metode numerik. Secara umum, ahli matematika seperti Chapra dan Chanale (1991) berpendapat bahwa pengertian metode numerik adalah teknik penyelesaian masalah secara matematis dg operasi aritmetika melalui formulasi tertentu. Berbeda dengan pendapat tersebut, Susila (1994) dan Ibraheem & Hisyam (2003) memberikan definis metode numerik adalah teknik untuk merumuskan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan secara sederhana melalui operasi hitungan tambah, kurang, kali dan bagi. Orang Jawa menyebut operasi matematika tersebut dengan istilah pipolondo (ping poro lan sudo).
Menurut Wikipedia, dalam analisis numerik, metode numerik adalah tool matematis yang dirancang untuk menyelesaikan masalah numerik (angka atau bilangan). Implementasi dari numerical method yang dilengkapi dengan kaidah pemeriksaan konvergensi yang sesuai dalam bahasa pemrograman disebut dengan algoritma numerik (numerical algorithm).
Analisis numerik telah digunakan terlebih dahulu selama berabad-abad sebelum teknologi komputer ditemukan. Sejarah mencatat bahwa interpolasi linier sudah digunakan lebih dari 2000 tahun yang lalu. Banyak ahli matematika hebat mencatatkan sejarah keilmuannya pada perkembangan informatika dan komputer. Lihat saja nama-nama algoritma seperti metode Newton, polinomial interpolasi Lagrange, eliminasi Gauss, atau metode Euler.
Untuk mempermudahkan perhitungan secara manual, banyak diterbitkan buku berisi rumus dan tabel data seperti titik interpolasi dan nilai koefisien suatu fungsi. Publikasi NIST dengan editor Abramowitz dan Stegun menyebutkan bahwa sebuah buku dengan lebih dari 1.000 halaman berisi rumus dan fungsi dengan nilainya diterapkan di banyak titik di lapangan. Nilai dari sebuah fungsi tidak lagi berguna dengan adanya komputer, tetapi kumpulan rumus tersebut masih berguna.
Perkembangan teknologi kalkulator mekanik menjadi komputer elektronik terjadi pada tahun 1940-an. Teknologi yang mempermudah kalkulasi berupa kalkultor juga berevolusi dari perhitungan (pengolah angka) teknologi administratif. Penemuan komputer berpengaruh pada bidang analisis numerik karena perhitungan yang rumit menjadi lebih cepat dilakukan, terutama yang melibatkan iterasi. Silakan baca selengkapnya di Wikipedia.
Untuk persoalan tertentu tidaklah cukup kita hanya menggunakan metode untuk memperoleh hasil yang diinginkan; kita juga perlu mengetahui apakah metode tersebut memang memberikan solusi hampiran, dan seberapa bagus hampiran itu. Hal ini melahirkan kajian baru, yaitu analisis numerik.
Metode numerik dan analisis numerik adalah dua hal yang berbeda. Metode adalah algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik, sedangkan analisis numerik adalah terapan matematika untuk menganalisis metode. Dalam analisis numerik, hal utama yang ditekankan adalah analisis galat dan kecepatan konvergensi sebuah metode.
Teorema-teorema matematika banyak dipakai dalam menganalisis suatu metode. Di dalam buku karangan Rinaldi Munir, ada bahasan tentang beberapa materi analisis numerik seperti galat metode dan kekonvergenan metode.
Tugas para analis numerik ialah mengembangkan dan menganalisis metode numerik. Termasuk di dalamnya pembuktian apakah suatu metode konvergen, dan menganalisis batas-batas galat solusi numerik. Terdapat banyak sumber galat, diantaranya tingkat ketelitian model matematika, sistem aritmetik komputer, dan kondisi yang digunakan untuk menghentikan proses pencarian solusi. Semua ini harus dipertimbangkan untuk menjamin ketelitian solusi akhir yang dihitung.
Numerical analysis atau analisa numerik adalah studi tentang algoritma yang menggunakan pendekatan (aproksimasi) numerik pada masalah penyelesaian masalah dengan analisa matematis. Pendekatan numerik merupakan kebalikan dari manipulasi simbolik yang umum digunakan. Analisa matematis berbeda dengan matematika diskrit (Wikipedia).
Menurut Rinaldi Munir, kebanyakan persoalan matematika tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Metode analitik yang disebut juga dengan metode sejati mampu memberikan solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol.
Metode analitik hanya cocok untuk menyelesaikan persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana serta bermatra rendah. Padahal, persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali berdimensi nirmatra serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik dasar.
Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal.
Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka. Bandingkan dengan metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka.
Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error).
Tentu saja tidak! Anda jangan berpikiran bahwa metode numerik hanya dapat menyelesaikan persoalan rumit saja. Metode numerik berlaku umum, yakni ia dapat diterapkan untuk menyelesaikan persoalan matematika sederhana (yang juga dapat diselesaikan dengan metode analitik) maupun persoalan matematika yang tergolong rumit (yang metode analitik pun belum tentu dapat menyelesaikannya).
Komputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode numerik lanjut. Hal ini mudah dimengerti karena perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi aritmetika seperti penjumlahan, perkalian, pembagian, plus membuat perbandingan. Sayangnya, jumlah operasi aritmetika ini umumnya sangat banyak dan berulang (arti iterasi), sehingga perhitungan secara manual sering menjemukan. Manusia (yang melakukan perhitungan manual ini) dapat membuat kesalahan dalam melakukannya. Dalam hal ini, komputer berperanan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan.
Dukungan bahasa programing komputer dalam penggunaan metode numerik cukup lengkap. Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer. Program ditulis dengan kumpulan bahasa pemrograman tertentu, seperti FORTRAN, PASCAL (Software Turbo Pascal), C, C++, BASIC, JAVA dan sebagainya. Umumnya software tersebut gratis download.
Sebenarnya, menulis program numerik tidak selalu diperlukan. Di pasaran terdapat banyak program aplikasi komersil yang langsung dapat digunakan. Beberapa contoh aplikasi yang ada saat ini adalah MathLab, Scilab, MathCad, Maple, Mathematica, Eureka, Visual Basic, Borland Delphi, Excel (tabulasi tabel) dan sebagainya. Selain itu, terdapat juga library yang berisi rutin-rutin yang siap digabung dengan program utama yang ditulis pengguna, misalnya IMSL (International Mathematical and Statistical Library) Math/Library yang berisi ratusan rutin-rutin metode numerik.
Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameter.
Kemajuan komputer digital telah membuat bidang metode numerik berkembang secara dramatis. Tidak ada bidang matematika lain yang mengalami kemajuan penting secepat metode numerik. Tentu saja alasan utama penyebab kemajuan ini adalah perkembangan komputer itu sendiri, dari komputer mikro sampai komputer Cray, dan kita melihat perkembangan teknologi komputer tidak pernah berakhir. Tiap generasi baru komputer menghadirkan keunggulan seperti waktu, memori, ketelitian, dan kestabilan perhitungan. Hal ini membuat ruang penelitian semakin terbuka luas. Tujuan utama penelitian itu adalah pengembangan algoritma numerik yang lebih baik dengan memanfaatkan keunggulan komputer semaksimal mungkin. Banyak algoritma baru lahir atau perbaikan algoritma yang lama didukung oleh komputer.
Bagian mendasar dari perhitungan rekayasa yang dilakukan saat ini adalah perhitungan “waktu nyata” (real time computing), yaitu perhitungan keluaran (hasil) dari data yang diberikan dilakukan secara simultan dengan event pembangkitan data tersebut, sebagaimana yang dibutuhkan dalam mengendalikan proses kimia atau reaksi nuklir, memandu pesawat udara atau roket dan sebagainya [KRE88]. Karena itu, kecepatan perhitungan dan kebutuhan memori komputer adalah pertimbangan yang sangat penting.
Jelaslah bahwa kecepatan tinggi, keandalan, dan fleksibilitas komputer memberikan akses untuk penyelesaian masalah praktek. Sebagai contoh, solusi sistem persamaan dengan matra yang besar menjadi lebih mudah dan lebih cepat diselesaikan dengan komputer. Perkembangan yang cepat dalam metode numerik antara lain ialah penemuan metode baru, modifikasi metode yang sudah ada agar lebih mangkus, analisis teoritis dan praktis algoritma untuk proses perhitungan baku, pengkajian galat, dan penghilangan jebakan yang ada pada metode
Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Menurut Rochmad (2011), metode numerik adalah suatu teknik memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi.
Sebelum metode numerik ada, telah ada metode lain untuk menyelesaikan masalah. Berikut adalah beberapa metode atau cara penyelesaian masalah secara matematis.
Meskipun berguna, metode analitik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah sederhana. Padahal di dunia nyata, masalah real itu kompleks dan non linier sehingga metode analitik tidak dapat digunakan.
Metode grafik digunakan sebagai pendekatan penyelesaian masalah yang lebih kompleks. Kendalanya, metode ini tidak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu.
Metode ini cocok untuk penyelesaian numerik (bilangan) secara manual. Cara memerlukan waktu cukup lama dan mungkin terjadi kesalahan (error) saat input data.
Para rekayasawan dan para ahli ilmu alam, dalam pekerjaannya sering berhadapan dengan persamaan matematik. Persoalan yang muncul di lapangan diformulasikan ke dalam model yang berbentuk persamaan matematika. Persamaan tersebut mungkin sangat kompleks atau jumlahnya lebih dari satu. Metode numerik, dengan bantuan komputer, memberkan cara penyelesaian persoalan matematika dengan cepat dan akurat.
Di samping itu menurut Rochmad (2011) ada sejumlah alasan mengapa orang menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah yang dihadapinya. Beberapa alasan tersebut sebagai berikut.
Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, kenirmatraan, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik.
Metode numerik merupakan suatu teknik untuk menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan komputer, ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan yang luas. Misalnya, untuk memecahkan masalah berupa persamaan tak linear, sistem persamaan yang besar, dan permasalahan lainnya termasuk dalam bidang teknik dan sosial. Masalah yang sering sulit atau bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan secara analitis dapat diselesaikan dengan metode numerik.
Saat ini terdapat berbagai paket program komputer (misalnya exel, maple, matlab, atau program paket lainnya) yang tersedia dan diperdagangkan sehingga mudah didapat yang dalam pengoperasiannya mencakup metode numerik. Dengan demikian, pemecah masalah tinggal menyesuaikan dengan karakteristik program paket tersebut dengan algortima yang digunakan dalam pemecahan masalah.
Di pasaran banyak tersedia program aplikasi numerik komersil. Penggunaan aplikasi tersebut menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode numerik agar kita dapat memahami cara paket tersebut menyelesaikan persoalan.
Kita dapat membuat sendiri program komputer tanpa harus membeli paket programnya. Seringkali beberapa persoalan matematika yang tidak selalu dapat diselesaikan oleh program aplikasi. Sebagai contoh, misalkan ada program aplikasi tertentu yang tidak dapat dipakai untuk menghitung integrasi lipat dua atau lipat tiga. Mau tidak mau, kita harus menulis sendiri programnya. Untuk itu, kita harus mempelajari cara pemecahan integral lipat dua atau lebih dengan metode numerik
Apabila masalah yang dihadapi sulit diselesaikan dengan bantuan program paket komputer, maka pemecah masalah dapat menggunakan program komputer (misalnya basic, pascal, fortran, atau program komputer lainnya). Jika pemecah masalah mahir mendesain program sendiri, maka pemecah masalah dapat lebih leluasa dalam menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah yang dihadapinya.
Di sisi lain, metode numerik merupakan semacam sarana yang efisien untuk mengenal karakteristik komputer dan mendesain algoritma, diagram alur dan menulis program komputer sendiri.
Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika. Karena, metode numerik ditemukan dengan menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.
Ada 6 tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu sebagai berikut:
Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika.
Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan. Contohnya, faktor gesekan udara diabaikan sehingga koefisian gesekan di dalam model dapat dibuang. Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh.
Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, antara lain:
Menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya). Pemilihan metode didasari pada pertimbangan:
- apakah metode tersebut teliti?
- apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat?
- apakah metode tersebut tidak pekaterhadap perubahan data yang cukup kecil?
Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.
Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.
Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum data yang sesungguhnya.
Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.
Pengguanan berbagai metode numerik untuk menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan data berupa anga akan mempermudah kerja komputasi. Dalam artikel ini akan dikemukakan macam macam metode iterasi, yaitu
Metode langsung ini artinya penyelesaian persoalan matematika diselesaikan dengan cara menggunakan alat bantu yang sudah bisa menyelesaikan persoalan tersebut. Metode langsung ini akan menggunakan bahasa pemrograman MATLAB.
Bahasa pemrograman matlab sudah memiliki berbagai fasilitas untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang ada dan sering muncul. Jadi perintah yang dipakai adalah dengan perintah yang sudah disediakan oleh matlab.
Dengan metode ini persoalan matematika diselesaikan dengan metode matematika biasa, yang memiliki cara-cara yang sudah lazim digunakan. Dalam persoalan tugas nanti penulis memperoleh persoalan yang merupakan matriks. Jadi berkaitan dengan cara biasa ini nantinya penulis akan menggunakan cara penyelesaian matematika operasi matriks, seperti penggunaan determinan dan lain-lain.
Metode Gauss Seidel adalah suatu cara penyelesaian dengan menggunakan iterasi. Kemudian dengan mengubah elemen matriks diagonalnya nol. Untuk memulai perhitungan biasanya akan menggunakan tebakan awal.
Metode adalah metode yang menggunakan dasar perhitungan dengan cara matriks juga, seperti mialnya matriks [Z][I]=[V] maka persamaannya dapat dinyatakan sebagai [I]=[V]/[Z]
Metode Bagi-Dua adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval tersebut membagi dua bagian, lalu memilih dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. Metode ini berlaku ketika ingin memecahkan persamaan 
Prosedur Metode Bagi-Dua :
Misal dijamin bahwa ![[a, b]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ba%2C+b%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "[a, b]")
![[a, c]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ba%2C+c%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "[a, c]")
![[c, b]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Bc%2C+b%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "[c, b]")
Metode Tabel
Mencari akar persamaan non linier dengan menentukan daerah x di antara a dan b(x = [a, b] dimana a adalah batas bawah nilai perkiraan x dan b adalah batas atas nilai perkiraan x.
Prinsip:
Membagi range a dan b menjadi N bagian. Masing-masing bagian dihitung nilai f(x)nya untuk mencari penyelesaian yang terdekat dalam bentuk tabel berikut ini:
Dari tabel didapat:
- Bila ditemukan f(xk) = 0 atau mendekati 0 maka dikatakan bahwa xk adalah akar
- Bila tidak ada, maka proses pembagian area dilakukan untuk nilai a = xk dan b = xk+1 dimana f(xk).f(xk+1) < 0
-
Carilah akar persamaan dari persamaan berikut:
f(x) = exp(-x) – x
Metode Newton merupakan metode tercepat untuk menyelesaikan masalah. Namun metode ini memerlukan analisis komputasi requires dari turunan f (x). Selain itu, metode ini tidak selalu konvergen dengan akar yang dicari.
Anda dapat menurunkan Metode Newton secara grafik atau menggunakan deret Taylor.
Metode Regula Falsi adalah panduan konsep Metode Bagi-Dua dan Metode Secant. Menggunakan konsep Metode Bagi-Dua karena dimulai dengan pemilihan dua titik awal x0 dan x1 sedemikian sehingga f(x0) dan f(x1) berlawanan tanda atau f(x0)f(x1) < 0.
Menggunakan konsep Metode Secant yaitu dengan menarik garis l dari titik f(x0) dan f(x1) sedemikian sehingga garis l berpotongan pada sumbu – x dan memotong kurva / grafik fungsi pada titik f(x0) dan f(x1). Sehingga Metode Regular Falsi ini akan menghasilkan titik potong pada sumbu-x yaitu x2 yang merupakan calon akar dan tetap berada dalam interval [x0, x1]. Metode ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut interval [xn-1, xn] yang semuanya berisi akar f.
Jejak kaki: