Create 0862. 和至少为 K 的最短子数组.md

Solutions/0862. 和至少为 K 的最短子数组.md

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+# [0862. 和至少为 K 的最短子数组](https://leetcode.cn/problems/shortest-subarray-with-sum-at-least-k/)
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+- 标签：队列、数组、二分查找、前缀和、滑动窗口、单调队列、堆（优先队列）
+- 难度：困难
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+## 题目链接
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+- [0862. 和至少为 K 的最短子数组 - 力扣](https://leetcode.cn/problems/shortest-subarray-with-sum-at-least-k/)
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+## 题目大意
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+**描述**：给定一个整数数组 $nums$ 和一个整数 $k$。
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+**要求**：找出 $nums$ 中和至少为 $k$ 的最短非空子数组，并返回该子数组的长度。如果不存在这样的子数组，返回 $-1$。
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+**说明**：
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+- **子数组**：数组中连续的一部分。
+- $1 \le nums.length \le 10^5$。
+- $-10^5 \le nums[i] \le 10^5$。
+- $1 \le k \le 10^9$。
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+**示例**：
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+- 示例 1：
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+```python
+输入：nums = [1], k = 1
+输出：1
+```
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+- 示例 2：
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+```python
+输入：nums = [1,2], k = 4
+输出：-1
+```
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+## 解题思路
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+### 思路 1：前缀和 + 单调队列
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+题目要求得到满足和至少为 $k$ 的子数组的最短长度。
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+先来考虑暴力做法。如果使用两重循环分别遍历子数组的开始和结束位置，则可以直接求出所有满足条件的子数组，以及对应长度。但是这种做法的时间复杂度为 $O(n^2)$。我们需要对其进行优化。
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+#### 1. 前缀和优化
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+首先对于子数组和，我们可以使用「前缀和」的方式，方便快速的得到某个子数组的和。
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+对于区间 $[left, right]$，通过 $pre\underline{}sum[right + 1] - prefix\underline{}cnts[left]$  即可快速求解出区间 $[left, right]$ 的子数组和。
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+此时问题就转变为：是否能找到满足 $i > j$ 且 $pre\underline{}sum[i] - pre\underline{}sum[j] \ge k$ 两个条件的子数组 $[j, i)$？如果能找到，则找出 $i - j$ 差值最小的作为答案。
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+#### 2. 单调队列优化
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+对于区间 $[j, i)$ 来说，我们应该尽可能的减少不成立的区间枚举。
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+1. 对于某个区间 $[j, i)$ 来说，如果 $pre\underline{}sum[i] - pre\underline{}sum[j] \ge k$，那么大于 $i$ 的索引值就不用再进行枚举了，不可能比 $i - j$ 的差值更优了。此时我们应该尽可能的向右移动 $j$，从而使得 $i - j$ 更小。
+2. 对于某个区间 $[j, i)$ 来说，如果 $pre\underline{}sum[j] \ge pre\underline{}sum[i]$，对于任何大于等于 $i$ 的索引值 $r$ 来说，$pre\underline{}sum[r] - pre\underline{}sum[i]$ 一定比 $pre\underline{}sum[i] - pre\underline{}sum[j]$ 更小且长度更小。此时 $pre\underline{}sum[j]$ 可以直接忽略掉。
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+因此，我们可以使用单调队列来保存单调递增的 $pre\underline{}sum[x]$  值的下标。
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+对于每一个位置 $i$ 我们可以判断其之前存入在单调队列中的 $pre\underline{}sum[j]$ 值，如果 $pre\underline{}sum[i] - pre\underline{}sum[j] \ge k$，则更新答案，并将 $j$ 从队头位置弹出。直到 $pre\underline{}sum[i] - pre\underline{}sum[j] < k$ 时为止。
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+如果队尾 $pre\underline{}sum[j] \ge pre\underline{}sum[i]$，那么 $$
+
+使用一重循环遍历 $i$，对于 $pre\underline{}sum[i]$，我们希望使用某个数据结构，能够使得在满足 $pre\underline{}sum[i] - pre\underline{}sum[j] \ge k$ 当前前提下，能够尽可能的向右移动 $j$，从而使得 $i - j$ 最小。
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+### 思路 1：代码
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+```Python
+class Solution:
+    def shortestSubarray(self, nums: List[int], k: int) -> int:
+        size = len(nums)
+
+        pre_sum = [0 for _ in range(size + 1)]
+        for i in range(size):
+            pre_sum[i + 1] = pre_sum[i] + nums[i]
+
+        ans = float('inf')
+        queue = collections.deque()
+
+        for i in range(size + 1):
+            # 优化 1
+            while queue and pre_sum[i] - pre_sum[queue[0]] >= k:
+                ans = min(ans, i - queue.popleft())
+            # 优化 2
+            while queue and pre_sum[queue[-1]] >= pre_sum[i]:
+                queue.pop()
+            queue.append(i)
+
+        if ans == float('inf'):
+            return -1
+        return ans
+```
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+### 思路 1：复杂度分析
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+- **时间复杂度**：$O(n)$，其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。
+- **空间复杂度**：$O(n)$。
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