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User 請說明 NP-Complete 是甚麼?

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NP-Complete（Non-deterministic Polynomial time-Complete）是計算理論中一個重要的概念，指的是一類具有特定特性的問題集合。NP-Complete問題在計算上被認為相當難解，且若能找到一個有效的解法，則可以在多項式時間內解決所有的NP問題。

一個問題被歸類為NP-Complete，需滿足兩個條件：

NP（Non-deterministic Polynomial time）： 這表示如果你被告知一個解，你可以在多項式時間內檢查這個解的正確性。換句話說，對於給定的解，可以在多項式時間內驗證它是否正確。

NP-Hard： 這表示這個問題至少和NP問題一樣難。換句話說，任何一個屬於NP-Complete問題集合的問題，如果你能在多項式時間內解決它，那麼你也能在多項式時間內解決所有的NP問題。

第一個被證明是NP-Complete的問題是克利夫·斯圖（Stephen Cook）在1971年提出的布爾可滿足性問題（Boolean Satisfiability Problem，簡稱SAT）。證明一個問題是NP-Complete通常是透過歸納法，即證明該問題是NP且與已知的NP-Complete問題有多項式時間歸納。

NP-Complete問題的重要性在於，如果你能找到一個多項式時間內解決其中一個NP-Complete問題的演算法，則所有的NP-Complete問題都能在多項式時間內解決，這就是著名的P=NP問題。目前，尚未找到任何能在多項式時間內解決所有NP-Complete問題的演算法，因此P=NP問題仍然是一個開放問題。

MS Copilot

NP-Complete 是一種計算複雜度理論中的問題類型，它是 NP 問題的一個子集，並且是 NP 問題中最困難的一類。NP 問題是指可以在多項式時間內驗證一個解答是否正確的問題，但是在多項式時間內找到一個解答卻是不可能的。NP-Complete 問題是指一個問題既是 NP 問題，又可以在多項式時間內轉化成任何其他 NP 問題。如果我們能夠在多項式時間內解決一個 NP-Complete 問題，那麼我們就能夠在多項式時間內解決所有的 NP 問題

Wikipedia:

• P/NP問題
• NP困難
• NP完全

User: 甚麼是 Cook–Levin theorem?

MS Copilot:

Cook–Levin 定理是計算複雜度理論中的一個重要定理，它證明了布爾可滿足性問題（Boolean Satisfiability Problem，簡稱SAT）是 NP-Complete 的 12. 這意味著 SAT 是 NP 問題中最困難的一類，並且可以在多項式時間內轉化成任何其他 NP 問題 12. 如果我們能夠在多項式時間內解決 SAT，那麼我們就能夠在多項式時間內解決所有的 NP 問題 12.

Cook–Levin 定理是由 Stephen Cook 和 Leonid Levin 在 1971 年獨立發現的 1. 它的主要貢獻是證明了 NP-Complete 問題的存在性，並且提出了一種證明 NP-Complete 的方法，即通過多項式時間歸約將一個 NP 問題轉化成 SAT 問題 1. 這個方法被稱為 Cook–Levin 算法，它將一個 NP 問題轉化成一個布爾公式，並且保證了轉化的多項式時間複雜度 1.

總之，Cook–Levin 定理是 NP-Complete 理論的基石之一，它證明了 SAT 是 NP-Complete 的，並且提供了證明 NP-Complete 的一種方法 1