TP3 2025C1

tps/2025_1/tp3.md

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+math: true
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+
+{% assign tp = site.data.trabajos.TP3 %}
+{% capture fecha %}{{tp.entrega | date: "%e/%m"}}{% endcapture %}
+
+# Trabajo Práctico 3: Comunidades NP-Completas
+
+El presente trabajo busca evaluar el desarrollo y análisis de un algoritmo 
+de Backtracking para resolver un Problema NP-Completo, así como el análisis 
+de posibles aproximaciones. 
+La fecha de entrega del mismo es el {{fecha}}.
+
+## Introducción
+
+Luego de los grandes resultados obtenidos en los trabajos anteriores, fuimos nuevamente ascendidos. 
+Ahora somos la mano derecha del Gringo (que dejó de decirnos cada 3 palabras cosas de desayunar con peces).
+
+En función de poder evitar que situaciones así vuelvan a suceder, obtuvo la información de qué
+integrante de la organización es cercano a otro. Con esta información construyó un grafo no dirigido y no
+pesado (vértices: personas, aristas: si las personas son cercanas). Nos pidió que separemos el grafo
+en comunidades. Es decir, separar los vértices en $K$ clusters (grupos). 
+
+Todo venía bien, nuestra primera idea era la de maximizar la distancia mínima entre comunidades, lo cual
+puede resolverse con un algoritmo de árboles de tendido mínimo (y siendo este grafo no pesado, aún más fácil), 
+pero Amarilla Pérez nos indicó que esa métrica da muy malos resultados. Que en vez de esto, mejor minimizar
+la distancia máxima entre dos vértices dentro de la misma comunidad. 
+
+Pasamos de un un problema que hasta se podía resolver de forma lineal, a un problema que, creemos, es NP-Completo. 
+Debemos convencer a Amarilla Pérez de que esta no es una buena idea, que demorará mucho. Para esto, igualmente, vamos
+a tener que venir con demostraciones, mediciones, y al menos una alternativa...
+
+
+## Consigna
+
+Para los primeros dos puntos considerar la versión de decisión del problema de _Clustering por bajo diámetro_: 
+Dado un grafo no dirigido y no pesado, un vértice $k$ y un valor $C$, ¿es posible separar los vértices 
+en a lo sumo $k$ grupos/clusters disjuntos, de tal forma que todo vértice pertenezca a un cluster, y que la distancia
+máxima dentro de cada cluster sea a lo sumo $B$? (Si un cluster queda vacío o con un único elemento, considerar la
+distancia máxima como 0).
+
+Al calcular las distancias se tienen en cuenta tanto las aristas entre vértices dentro del cluster, como cualquier otra
+arista dentro del grafo. 
+
+
+1. 	Demostrar que el Problema de Clustering por bajo diámetro se encuentra en NP.
+
+2. 	Demostrar que el Problema de Clustering por bajo diámetro es, en efecto, un problema NP-Completo. 
+	Si se hace una reducción involucrando un problema no visto en clase, agregar una
+	(al menos resumida) demostración que dicho problema es NP-Completo. 
+
+3. 	Escribir un algoritmo que, por backtracking, obtenga la solución óptima al problema (valga la 
+	redundancia) en la versión de optimización: Dado un grafo no dirigido y no pesado, y un valor $k$,
+	determinar los $k$ clusters para que la distancia máxima de cada cluster sea mínima. Para esto, considerar
+	minimizar el máximo de las distancias máximas (es decir, de las distancias máximas de cada cluster, nos quedamos
+	con la mayor, y ese valor es el que queremos minimizar). 
+
+	Generar sets de datos para corroborar su correctitud, así como tomar mediciones de tiempos. 
+
+4. 	Escribir un modelo de programación lineal que resuelva el problema de forma óptima. 
+	Recordar que el cálculo de las distancias mínimas se puede hacer previamente, y no ser
+	parte del modelo de programación lineal (problema muy sencillo de resolver con un algoritmo BFS, pero
+	no así con programación lineal).
+
+	Implementar dicho modelo, y ejecutarlo el modelo para los mismos sets de datos para corroborar su correctitud. 
+	Tomar mediciones de tiempos y compararlas con las del algoritmo que implementa Backtracking. 
+
+5. 	Ya pudiendo mostrar que no es una buena idea trabajar con estas métricas para obtener las comunidades
+	de una organización tan grande, la agente T nos recomendó analizar la posibilidad de no clusterizar
+	por bajo diámetro, sino maximizando la Modularidad. 
+
+	> ¿La qué? 
+
+	La modularización es una métrica para definir la densidad de aristas dentro de una comunidad. En una comunidad
+	real, hay un alto coeficiente de clustering. Básicamente, hay muchos triángulos; es decir, amigos en común.
+	Esto se manifiesta en tener que una comunidad tiene necesariamente muchas aristas dentro de la misma, y al mismo
+	tiempo pocas _hacia afuera_.
+	Podemos definir la modularidad como: 
+
+	$$Q = \frac{1}{2m} \sum_i \sum_j \left(peso(v_i, v_j) - \frac{k_ik_j}{2m}\right) \delta(c_i, c_j)$$
+
+	Donde: 
+
+	* $peso(v_i, v_j)$: el peso de la arista entre $i$ y $j$ (0 si no están unidos, y en nuestro caso 1 sí si lo están).
+	* $k_i$: es la suma de las aristas del vértice $i$ (en nuestro caso, su grado).
+	* $2m$: es la suma de todos los pesos de las aristas.
+	* $c_i$: es la comunidad del vértice $i$.
+	* $\delta$: función delta de Kronecker, que es básicamente 1 si ambas comunidades son iguales, 0 si son diferentes.
+
+	¿El problema? [Maximizar la modularización es también un problema NP-Completo](https://arxiv.org/pdf/physics/0608255). 
+	¿Lo bueno? Es conocido un algoritmo  greedy que funciona muy bien para esto: 
+	[El Algoritmo de Louvain](https://en.wikipedia.org/wiki/Louvain_method).
+	Obviamos transcribir la descripción del algoritmo, que pueden leer allí, pero la agente T logró obtener 
+	[una grabación de una clase de la facultad de ingeniería donde explicaban este algoritmo](https://www.youtube.com/watch?v=EbIC_wTP44Q&t=540s). 
+	Por supuesto, si les interesa el tema pueden revisar el video entero. 
+	Dejamos también un link [a las diapositivas de dicha clase](https://docs.google.com/presentation/d/1FLXTYtSDeMLxNOa9xW_zjEb2FhJIgZzXWuxvGHUxP5I/edit#slide=id.gae5b01dea1_1_36). 
+
+
+	Implementar el algoritmo de Louvain para obtener una separación en $K$ clusters. Realizar mediciones para
+	determinar una cota empírica de aproximación al utilizar dicho algoritmo para aproximar al problema de 
+	Clustering por bajo diámetro. Realizar esto con datos generados por ustedes, incluyendo potencialmente set 
+	de datos de volúmenes inmanejable para los algoritmos antes implementados. 
+	Recomendamos leer la explicación de la complejidad del algoritmo, la cual no es sencilla (y por lo tanto, 
+	no la pedimos aquí tampoco). 
+
+
+7.	**Opcional**: Implementar alguna otra aproximación (o algoritmo greedy) que 
+	les parezca de interés. Comparar sus resultados con los dados por la aproximación 
+	del punto anterior. Indicar y justificar su complejidad, en lo posible. No es obligatorio
+	hacer este punto para aprobar el trabajo práctico (pero si resta un punto no hacerlo).
+
+8. 	Agregar cualquier conclusión que parezca relevante.
+
+## Entrega
+
+Debe enviarse al corrector asignado, por mail o slack, el link
+al repositorio donde se encuentre el código fuente, y donde debe encontrarse
+el informe en formato PDF, que debe seguir los lineamientos establecidos en el TP1 y TP2.
+En este caso, la forma de ejecutar el programa debe ser: 
+
+```
+./tp3 ruta/a/grafo.csv <K>
+```
+O bien: 
+```
+python3 tp3.py ruta/a/grafo.txt <K>
+```
+
+Por ejemplo:
+```
+python3 tp3.py 15-3.csv 3
+```
+
+La nota del trabajo práctico tendrá en cuenta tanto la presentación y calidad de lo presentado, 
+como también el desarrollo del trabajo. No será lo mismo un trabajo realizado con lo mínimo
+indispensable, que uno bien presentado, analizado, y probado con diferentes volúmenes, set de 
+datos, o estrategias de generación de sets, en el caso que corresponda.