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Author: whats2000

2485-Find the Pivot Integer/Note.md

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+# 2485. Find the Pivot Integer
+
+Given a positive integer `n`, find the pivot integer `x` such that:
+
+- The sum of all elements between `1` and `x` inclusively equals the sum of all elements between `x` and `n` inclusively.
+
+Return the pivot integer `x`. 
+If no such integer exists, return `-1`. 
+It is guaranteed that there will be at most one pivot index for the given input.
+
+**Constraints:**
+
+- `1 <= n <= 1000`
+
+# 基礎思路
+
+本題要求尋找一個整數 `x`，使得：
+
+$$
+1 + 2 + \cdots + x = x + (x+1) + \cdots + n
+$$
+
+這是一個兩側求和相等的問題，但若直接逐一求和會造成 $O(n)$ 的成本。
+更好的方式是利用**等差級數的性質**進行化簡。
+
+觀察可得：
+
+* 左側求和為
+
+  $$
+  S_L = \frac{x(x+1)}{2}
+  $$
+
+* 右側求和為
+
+  $$
+  S_R = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{(x-1)x}{2}
+  $$
+
+令兩側相等並化簡後會得到：
+
+$$
+x^2 = \frac{n(n+1)}{2}
+$$
+
+因此：
+
+- 若總和 $\frac{n(n+1)}{2}$ 是**完全平方數**，答案即為 `x = √(總和)`。
+- 否則不存在滿足條件的 pivot integer。
+
+此方法可在常數時間 $O(1)$ 內完成。
+
+## 解題步驟
+
+### Step 1：計算 1 到 n 的總和
+
+使用等差級數公式計算總和，作為後續檢查 pivot 是否可能存在的基礎。
+
+```typescript
+// 使用等差級數公式計算 1 到 n 的總和
+const totalSumFromOneToN = (n * (n + 1)) / 2;
+```
+
+### Step 2：計算總和的平方根候選值
+
+若 pivot integer 存在，其值必須是總和的平方根，因此先取整數平方根。
+
+```typescript
+// 計算總和的整數平方根作為 pivot 候選
+const candidatePivot = Math.floor(Math.sqrt(totalSumFromOneToN));
+```
+
+### Step 3：檢查是否為完全平方數並返回結果
+
+若平方根平方後等於總和，代表 pivot 存在並返回；否則回傳 -1。
+
+```typescript
+// 若平方後等於總和，表示為完全平方數
+if (candidatePivot * candidatePivot === totalSumFromOneToN) {
+  return candidatePivot;
+}
+
+// 若不符合，則不存在 pivot integer
+return -1;
+```
+
+## 時間複雜度
+
+- 所有計算皆為常數運算。
+- 總時間複雜度為 $O(1)$。
+
+> $O(1)$
+
+## 空間複雜度
+
+- 僅使用常數額外變數。
+- 總空間複雜度為 $O(1)$。
+
+> $O(1)$

2485-Find the Pivot Integer/answer.ts

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+function pivotInteger(n: number): number {
+  // Compute the total sum from 1 to n using the arithmetic series formula
+  const totalSumFromOneToN = (n * (n + 1)) / 2;
+
+  // Compute the integer square root candidate for the total sum
+  const candidatePivot = Math.floor(Math.sqrt(totalSumFromOneToN));
+
+  // Verify if the candidatePivot squared equals the total sum (perfect square check)
+  if (candidatePivot * candidatePivot === totalSumFromOneToN) {
+    return candidatePivot;
+  }
+
+  // If no integer pivot satisfies the condition, return -1
+  return -1;
+}

2485-Find the Pivot Integer/questionCode.ts

@@ -0,0 +1,3 @@
+function pivotInteger(n: number): number {
+
+}