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@Tomycj
Tomycj authored May 9, 2024
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<title>Matemática</title>
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<body>

<div style="position: absolute; font-size: 10px; font-style: italic;"> TC - 2024 - Consulte para clases particulares.</div>
<div id="scroll"style="position: fixed; right: 10px;"></div>

<h1 style ="text-align: center">
Ejercicios de matemática<br>
</h1>

<h2 class="contentHider">MCM (Mínimo Común Múltiplo)</h2>

<div>
<p><b>1)</b> Juan va al gimnasio cada 20 días, y María cada 38 días. ¿Cada cuántos días se encuentran en el gimasio?</p>
<p><b>2)</b> En una ciudad llueve cada 24 días y se juega fútbol cada 32 días. ¿Cada cuántos días se juega un partido bajo la lluvia?</p>
<p><b>3)</b> Hoy cumplo 15 años y está lloviendo. Si en donde vivo llueve cada 76 días, ¿Cuál será mi próximo cumpleaños lluvioso? (Ignoremos años bisiestos).</p>
</div>

<h2 class="contentHider">MCD (Máximo Común Divisor)</h2>

<div>
<p><b>1)</b> Se tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros, y se busca cortar ambas en trozos de igual longitud, siendo los trozos lo más largos posible.
¿Cuánto medirá cada trozo?</p>

<div class="indented">
<span class="contentHider bullet">Guía:</span>
<div>
<p>
Vamos probando con distintas longitudes de cuerda a cortar.
<br>2 m: Puedo dividir a ambos en trozos de 2 m, pero busco trozos más largos.
<br>3 m: Lo mismo.
<br>4 m: Lo mismo.
<br>5 m: Puedo dividir a la de 120 m en trozos de 5 m, pero no a la de 96 m. Esto quiere decir que 5 no es un divisor de 96.
</p>
<p>Así me doy cuenta que estoy buscando números que tienen que ser divisores de AMBAS longitudes.
Es decir, busco divisores comunes. Además, el número
que busco debe ser lo más grande posible, por lo que buscaré el Máximo Común Divisor.
</p>
</div>
</div>

<p><b>2)</b> Para pintar una casa necesitaré 12 L de pintura roja, 24 L de pintura verde, y 16 L de pintura blanca.
<br> Si quiero comprar toda esta pintura en latas con la misma cantidad de litros, y además quiero comprar la menor cantidad de latas posible
sin que sobre nada,
¿de cuántos litros deben ser las latas?</p>

<div class="indented">
<span class="contentHider bullet">Guía:</span>
<div>
<p>
Las latas deben ser de una cantidad de litros que divida a 12, 24 y 16. (Considerar lo que ocurre en caso contrario, por ejemplo con latas de 5 L).
<br>Por lo tanto busco un divisor común de 12, 24 y 16. Como esa cantidad de litros debe ser la mayor posible (porque quiero comprar
la menor cantidad posible de latas), buscaré el MCD.
</p>
</div>
</div>

</div>

<h2 class="contentHider">Cifras y divisibilidad</h2>

<div>
<p><b>1)</b> Hallar todos los números N = 123X321 múltiplos de 11. </p>

<div class="indented">
<span class="contentHider italic bullet">Solución:</span>
<div hidden>
<p> x = 4.</p>
</div>
</div>


<p><b>2)</b> Hallar todos los números M = 123X32Y múltiplos de 11. </p>
<div class="indented">
<span class="contentHider italic bullet">Solución:</span>
<div hidden>
<p>Pares x y: 0 8, 1 9, 3 0, 4 1, 5 2, 6 3, 7 4, 8 5, 9 6.</p>
</div>
</div>

<p><b>3)</b> Hallar todos los números J = 1X4X divisibles por 3 y por 2. </p>
<div class="indented">
<span class="contentHider italic bullet">Solución:</span>
<div hidden>
<p>
Criterio de divisibilidad del 3: 1 + X + 4 + X = múltiplo de 3.
<br>Simplifico: 5 + 2X = múltiplo de 3.
<br>Se hallan soluciones válidas para los múltiplos 9, 15 y 21: X = 2, 5, 8.
<br>Pero además, J debe ser divisible por 2, por lo tanto las únicas soluciones válidas son X = 2, 8.
</p>
</div>
</div>

<p><b>4)</b> Hallar todos los números H, sabiendo que sus únicos divisores primos son 3 y 7, y tienen a lo sumo 9 divisores. </p>
<div class="indented">
<span class="contentHider italic bullet">Solución:</span>
<div hidden>
<p>
H = 3<sup>x</sup> · 7<sup>y</sup>, donde las dos incógnitas son enteros iguales o mayores a 1.<br>
Cantidad de divisores = (x+1)·(y+1) &le; 9. Esta es una ecuación.<br>
Probamos posibles valores de x e y que cumplan con la ecuación hallada. Empezamos por x = 1:<br>
Cuando x = 1, y puede valer 1, 2, o 3. (Tal que la cantidad de divisores no supere 9, en la ecuación). Ahora probamos con x = 2:<br>
Cuando x = 2, y puede valer 1 o 2. Probamos con más valores:<br>
Cuando x = 3, y puede valer 1.<br>
Cuando x = 4, ya no hay valores de y que cumplan la ecuación.<br>
</p>
<p>
Se hallaron los siguientes pares x y: 1 1, 1 2, 1 3, 2 1, 2 2, 3 1. Entonces:<br>
H<sub>1</sub> = 3<sup>1</sup> · 7<sup>1</sup> = 31.<br>
H<sub>2</sub> = 3<sup>1</sup> · 7<sup>2</sup> = 147.<br>
H<sub>3</sub> = 3<sup>1</sup> · 7<sup>3</sup> = 1029.<br>
H<sub>4</sub> = 3<sup>2</sup> · 7<sup>1</sup> = 63.<br>
H<sub>5</sub> = 3<sup>2</sup> · 7<sup>2</sup> = 441.<br>
H<sub>6</sub> = 3<sup>3</sup> · 7<sup>1</sup> = 189.<br>
</p>

</div>
</div>

<p><b>5)</b> Hallar todos los números U, sabiendo que sus únicos divisores primos son 2, 3 y 7, y tienen a lo sumo 12 divisores. </p>
<div class="indented">
<span class="contentHider italic bullet">Solución:</span>
<div hidden>
<p>
U = 2<sup>x</sup> · 3<sup>y</sup> · 7<sup>z</sup>, donde las tres incógnitas son enteros iguales o mayores a 1.<br>
Cant. de divisores = (x+1) (y+1) (z+1) &le; 12. Es un producto de tres factores.<br>
Como cada factor vale como mínimo 2 (cuando su incógnita vale 1), entonces para que
el producto de los tres factores no supere 12 a lo sumo uno de ellos puede valer 3, por lo que hay pocas combinaciones a probar:<br>
</p>
<p>
U<sub>1</sub> = 2<sup>1</sup> · 3<sup>1</sup> · 7<sup>1</sup> = 42.<br>
U<sub>2</sub> = 2<sup>2</sup> · 3<sup>1</sup> · 7<sup>1</sup> = 84.<br>
U<sub>3</sub> = 2<sup>1</sup> · 3<sup>2</sup> · 7<sup>1</sup> = 126.<br>
U<sub>4</sub> = 2<sup>1</sup> · 3<sup>1</sup> · 7<sup>2</sup> = 294.
</p>

</div>
</div>

<p hidden><b>6)</b> Hallar todos los números K = 5X1Y6 divisibles por 11 y 9. </p>

</div>
</body>

<script>
function toggleHiddenNext() {

const y = window.scrollY;

const hidden = this.nextElementSibling.toggleAttribute("hidden");
if (hidden) {
this.classList.add("italic");
} else {
this.classList.remove("italic");
}

window.scrollTo(0, y);
}

const clickableHideNext = Array.from(document.getElementsByClassName("contentHider"));

clickableHideNext.forEach(element => {
element.classList.add("clickable");
element.onclick = toggleHiddenNext;
});

/*
const scroll = document.getElementById("scroll");
function updateScroll(){
scroll.innerText = window.scrollY.toFixed(1);
requestAnimationFrame(updateScroll)
}
requestAnimationFrame(updateScroll);
*/

</script>

</html>
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