+
Нам нужно посчитать $E = E(\textit{количество караванов}) = E(\textit{количество лидирующих поездов})$. Опять воспользуемся линейностью матожидания: $E = P_1 + P_2 + \cdots + P_n$, где $P_i$ - вероятность того, что $i$-ый вагон лидирует.
+
Что из себя представляет лидирующий вагон? Это вагон, скорость которого не больше, чем скорости всех впереди идущих поездов. Тогда $P_i = P(\{v_i \le \min(v_{i+1}\cdots v_n) | v_i \in \xi\})$. Заметим, что вероятность того, что $i$-ый вагон, имея скорость $v_i$, будет лидером каравана, равна $P_i(v_i) = P(\{v_i \le \min(v_{i+1}\cdots v_n) | v_i \in \xi\})$ - что есть ни что иное, как функция распределения случайно величины, являющейся минимумом среди $k = n - i$ независимых случайных величин из одинакового распределения $\xi$.
+
Несложно вычислить функцию распределения такой случайной величины: $F_{\xi}^{k}(x) = 1 - (1 - F_{\xi}(x))^k$
+
Однако нас просят посчитать вероятность $P_i$, где $v_i$ принадлежит распределению $\xi$, а $\min(v_{i+1}\cdots v_n)$ - распределению минимумов.
+
Несложно записать соответствующий интеграл: $\int_0^{\infty}{(1 - F_{\xi}^{k}(x))dF(x)}$ ($(1 - F_{\xi}^{k}(x)$ - т.к. при фиксированном $x = v_i$ мы должны посчитать вероятность того, что $\min(\cdots) \ge v_i$)
+
Возьмем интеграл:
+$\int_0^{\infty}{(1 - F_{\xi}^{k}(x))dF(x)} = \int_0^{\infty}{(1 - (1 - (1 - F(x))^k))dF(x)} =
+\int_0^{\infty}{(1 - F(x))^kdF(x)} = [\textit{заменим функцию T(x) = 1 - F(x)}] = \int_0^{\infty}{T(x)^kd(1 - T(x))} = -\int_0^{\infty}{T(x)^kdT(x)} = -\frac{T(x)^{k + 1}}{k + 1}|_0^{\infty} = -(0 - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{k + 1}$
+
Значит $P_i = \frac{1}{n - i + 1}$, а $E = \sum_1^n{\frac{1}{i}} = H(n)$ - сумма префикса гармонического ряда
+
+