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Date: Mon, 28 Feb 2022 15:34:05 +0800
Subject: [PATCH] Update 01.Binary-Search-Tree.md

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 如图所示，这 `3` 棵树都是二叉搜索树。
 
-![img](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220218175944.png)
\ No newline at end of file
+![img](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220218175944.png)
+
+二叉树具有一个特性，即：**左子树的节点值 < 根节点值 < 右子树的节点值**。
+
+根据这个特性，如果我们以中序遍历的方式遍历整个二叉搜索树时，会得到一个递增序列。例如，一棵二叉搜索树的中序遍历序列如下图所示。
+
+## 2. 二叉搜索树的查找
+
+> **二叉搜索树的查找**：在二叉搜索树中查找值为 `val` 的节点。
+
+### 2.1 二叉搜索树的查找算法步骤
+
+按照二叉搜索树的定义，在进行元素查找时，我们只需要根据情况判断需要往左还是往右走。这样，每次根据情况判断都会缩小查找范围，从而提高查找效率。二叉树的查找步骤如下：
+
+1. 如果二叉搜索树为空，则查找失败，结束查找，并返回空指针节点 `None`。
+2. 如果二叉搜索树不为空，则将要查找的值 `val` 与二叉搜索树根节点的值 `root.val` 进行比较：
+   1. 如果 `val == root.val`，则查找成功，结束查找，返回被查找到的节点。
+   2. 如果 `val < root.val`，则递归查找左子树。
+   3. 如果 `val > root.val`，则递归查找右子树。
+
+### 2.2 二叉搜索树的查找代码实现
+
+```Python
+class Solution:
+    def searchBST(self, root: TreeNode, val: int) -> TreeNode:
+        if not root:
+            return None
+        
+        if val == root.val:
+            return root
+        elif val < root.val:
+            return self.searchBST(root.left, val)
+        else:
+            return self.searchBST(root.right, val)
+```
+
+### 2.3 二叉搜索树的查找算法分析
+
+- 二叉搜索树的查找时间复杂度和树的形态有关。
+- 在最好情况下，二叉搜索树的形态与二分查找的判定树相似。每次查找都可以所辖一半搜索范围。查找路径最多从根节点到叶子节点，比较次数最多为树的高度 $log n$。在最好情况下查找的时间复杂度为 $O(log_2 n)$。
+- 在最坏情况下，二叉搜索树的形态为单支树，即只有左子树或者只有右子树。每次查找的搜索范围都缩小为 $n - 1$，退化为顺序查找，在最坏情况下时间复杂度为 $O(n)$。
+- 在平均情况下，二叉搜索树的平均查找长度为 $ASL = [(n+1)/n] * log_2(n+1) - 1$。所以二分搜索树的查找平均时间复杂度为 $O(log_2 n)$。
+
+## 3. 二叉搜索树的插入
+
+> **二叉搜索树的插入**：在二叉搜索树中插入一个值为 `val` 的节点（假设当前二叉搜索树中不存在值为 `val` 的节点）。
+
+### 3.1 二叉搜索树的插入算法步骤
+
+二叉搜索树的插入操作与二叉树的查找操作过程类似，具体步骤如下：
+
+1. 如果二叉搜索树为空，则创建一个值为 `val` 的节点，并将其作为二叉搜索树的根节点。
+2. 如果二叉搜索树不为空，则将待插入的值 `val` 与二叉搜索树根节点的值 `root.val` 进行比较：
+   1. 如果 `val < root.val`，则递归将值为 `val` 的节点插入到左子树中。
+   2. 如果 `val > root.val`，则递归将值为 `val` 的节点插入到右子树中。
+
+### 3.2 二叉搜索树的插入代码实现
+
+```Python
+class Solution:
+    def insertIntoBST(self, root: TreeNode, val: int) -> TreeNode:
+        if root == None:
+            return TreeNode(val)
+
+        if val < root.val:
+            root.left = self.insertIntoBST(root.left, val)
+        if val > root.val:
+            root.right = self.insertIntoBST(root.right, val)
+        return root
+```
+
+## 4. 二叉搜索树的创建
+
+> **二叉搜索树的创建**：根据数组序列中的元素值，建立一棵二叉搜索树。
+
+### 4.1 二叉搜索树的创建算法步骤
+
+二叉搜索树的创建操作是从空树开始，按照给定数组元素的值，依次进行二叉搜索树的插入操作，最终得到一棵二叉搜索树。具体算法步骤如下：
+
+1. 初始化二叉搜索树为空树。
+2. 遍历数组元素，将数组元素值 `nums[i]` 依次插入到二叉搜索树中。
+3. 将数组中全部元素值插入到二叉搜索树中之后，返回二叉搜索树的根节点。
+
+### 4.2 二叉搜索树的创建代码实现
+
+```Python
+class Solution:
+    def insertIntoBST(self, root: TreeNode, val: int) -> TreeNode:
+        if root == None:
+            return TreeNode(val)
+
+        if val < root.val:
+            root.left = self.insertIntoBST(root.left, val)
+        if val > root.val:
+            root.right = self.insertIntoBST(root.right, val)
+        return root
+    def buildBST(self, nums) -> TreeNode:
+        root = TreeNode(val)
+        for num in nums:
+            self.insertIntoBST(root, num)
+        return root
+```
+
+## 5. 二叉搜索树的删除
+
+> **二叉搜索树的删除**：在二叉搜索树中删除值为 `val` 的节点。
+
+### 5.1 二叉搜索树的删除算法步骤
+
+在二叉搜索树中删除元素，首先要找到待删除节点，然后执行删除操作。根据待删除节点所在位置的不同，可以分为 `3` 种情况：
+
+1. 被删除节点的左子树为空。则令其右子树代替被删除节点的位置。
+2. 被删除节点的右子树为空。则令其左子树代替被删除节点的位置。
+3. 被删除节点的左右子树均不为空，则根据二叉搜索树的中序遍历有序性，删除该节点时，可以使用其直接前驱（或直接后继）代替被删除节点的位置。
+
+- **直接前驱**：在中序遍历中，节点 `p` 的直接前驱为其左子树的最右侧的叶子节点。
+- **直接后继**：在中序遍历中，节点 `p` 的直接后继为其右子树的最左侧的叶子节点。
+
+二叉搜索树的删除算法步骤如下：
+
+1. 如果当前节点为空，则返回当前节点。
+2. 如果当前节点值大于 `val`，则递归去左子树中搜索并删除，此时 `root.left` 也要跟着递归更新。
+3. 如果当前节点值小于 `key`，则递归去右子树中搜索并删除，此时 `root.right` 也要跟着递归更新。
+4. 如果当前节点值等于 `key`，则该节点就是待删除节点。
+   1. 如果当前节点的左子树为空，则删除该节点之后，则右子树代替当前节点位置，返回右子树。
+   2. 如果当前节点的右子树为空，则删除该节点之后，则左子树代替当前节点位置，返回左子树。
+   3. 如果当前节点的左右子树都有，则将左子树转移到右子树最左侧的叶子节点位置上，然后右子树代替当前节点位置。
+
+### 5.2 二叉搜索树的删除代码实现
+
+```Python
+class Solution:
+    def deleteNode(self, root: TreeNode, key: int) -> TreeNode:
+        if not root:
+            return root
+
+        if root.val > key:
+            root.left = self.deleteNode(root.left, key)
+            return root
+        elif root.val < key:
+            root.right = self.deleteNode(root.right, key)
+            return root
+        else:
+            if not root.left:
+                return root.right
+            elif not root.right:
+                return root.left
+            else:
+                curr = root.right
+                while curr.left:
+                    curr = curr.left
+                curr.left = root.left
+                return root.right
+```
+
+## 参考资料
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+- 【书籍】算法训练营 陈小玉 著
+- 【书籍】算法竞赛入门经典：训练指南 - 刘汝佳，陈锋 著
+- 【书籍】算法竞赛进阶指南 - 李煜东 著
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