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\chapter{Método 2: Función de Green dependiente del tiempo}
\section{Tranformada de Fourier}

 Consideremos una función $\Psi(x^\mu)  $,
 y definimos su transformada de Fourier $\bar{\Psi}(k^\mu)$ mediante
 la ecuación%
 \begin{equation}
 \Psi(x^\mu)  =\frac{1}{(2\pi)^2}\int \bar\Psi(k^\mu)
 ~e^{-ik_\mu x^\mu }d^4k,
 \end{equation}
 en donde la integración se extiende a todo el espacio
 (cuadridimensional) $k$. Se incluye el factor $(2\pi)
 ^{-2}$ en frente a la integral
 para permitir que la transformación inversa tenga la misma forma:%

 \begin{equation}
 \bar{\Psi}(k^\mu)  =\frac{1}{(2\pi)^2}\int \Psi(x^\mu)
 ~e^{ik_\mu x^\mu }d^4x.
 \end{equation}

 \begin{equation}
 \delta(z^\mu) =\frac{1}{(2\pi)^4}\int~e^{-ik_\mu z^\mu }d^4k.
 \end{equation}

 \subsubsection{Función de Green}

 Por definición, las funciones de Green $G(z^\mu)$ son soluciones de la ecuación
 \begin{equation}
 \Box G(z^\mu)  =\delta(z^\mu)  .
 \end{equation}
 \begin{equation}
 \Psi (x)=\frac{4\pi}{c}\int G\left(x-x'\right) g(x')\,d^4x'
 \end{equation}
 La solución de esta ecuación no es única. Si consideramos otra
 función $\tilde{G}$ que cumple con la ecuación de onda homogenénea
 \begin{equation}
 \Box\tilde{G}(z^\mu)  =0.
 \end{equation}
 Sumando podemos obtener%
 \begin{equation}
 \Box\left(  G(z^\mu)  +\tilde{G}\left(
 z^\mu \right) \right)  =\delta(z^\mu)  .
 \end{equation}
 Por lo tanto, podemos buscar soluciones particulares para $G$ y
 ajustar a gusto sumando una solución $\tilde{G}$ de la
 ecuación homogénea.

 Para resolver la ecuación de Green, pasamos del espacio
 coordenado $z^\mu $ al espacio de los momenta $k_\mu $ mediante
 una transformación
 de Fourier:%
 \begin{equation}
 \Box\left\{  \frac{1}{(2\pi)
 ^2}\int\bar{G}\left( k_\mu \right)
 ~e^{-ik_\mu z^\mu }d^4k\right\}  =\frac{1}{\left( 2\pi\right)
 ^4}\int~e^{-ik_\mu z^\mu }d^4k.
 \end{equation}
 Aquí, $\Box$ puede operar dentro de la integral:%
 \begin{align*}
 \Box e^{-ik_\mu z^\mu }  &
 =-\partial_{\alpha}\partial^{\alpha}e^{-ik_\mu z^\mu }\\
 & =-\left(  -ik_{\alpha}\right)  \left(
 -ik^{\alpha}\right)e^{-ik_\mu z^\mu }\\
 & =k^2e^{-ik_\mu z^\mu }.
 \end{align*}
 Con esto, encontramos que
 \begin{equation}
 \frac{1}{(2\pi)  ^2}\int\bar{G}\left(k_\mu \right)
 k^2e^{-ik_\mu z^\mu }d^4k=\frac{1}{(2\pi)  ^4}%
 \int~e^{-ik_\mu z^\mu }d^4k,
 \end{equation}
 y, por lo tanto,
 \begin{equation}
 \bar{G}\left(  k_\mu \right)  =\frac{1}{(2\pi)
 ^2}\frac {1}{k^2}~.
 \end{equation}
 Luego, la solución de la ecuación de Green en el espacio $z$ es
 \begin{equation}
 G(z^\mu)  =\frac{1}{(2\pi)  ^4}\int
 ~\frac{e^{-ik_\mu z^\mu }}{k^2}d^4k,
 \end{equation}
 en donde $k^2=k_{\alpha}k^{\alpha}$. Si \ $k^{\alpha}=(k^0,\vec{k}) $,
 entonces
 $k_{\alpha}k^{\alpha}=(k^0)^2-\vec{k}^2$, entonces
 \begin{equation}
 G(z^\mu)  =\frac{1}{(2\pi)  ^4}\int
 ~\frac{e^{-ik_\mu z^\mu }}{(k^0)^2-k^2}d^4k.
 \end{equation}
 Similarmente, $z^\mu =(x^0,\vec{z})  $ es un cuadrivector. Su producto interno
 con $k^\mu$ es
 \begin{equation}
 k_\mu z^\mu =k^0z^0-\vec{k}\cdot\vec{z}.
 \end{equation}
 Separamos las integrales en, espaciales y temporales:%
 \begin{align}
 G(z^\mu)    & =\frac{1}{\left(
 2\pi\right)^4}\int\frac{e^{-ik_\mu z^\mu }}{(k^0)^2-k^2}d^4k\nonumber\\
 & =\frac{1}{(2\pi)
 ^4}\int\frac{e^{-i\left(k^0z^0-\vec{k}\cdot\vec{z}\right)
 }}{(k^0)^2-k^2}d^4k\nonumber\\
 & =\frac{1}{(2\pi) ^4}\int e^{i\vec{k}\cdot\vec{z}}\int\frac
 {e^{-ik^0 z^0}}{(k^0)^2-k^2}dk^0d^3k.\label{R-rela02}%
 \end{align}

 Veamos primero la integral temporal:%
 \begin{equation}
 I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ik^0z^0}}{(k^0)^2-k^2}dk^0.
 \end{equation}
 Esta integral puede evaluarse usando el teorema de los residuos
 del
 análisis complejo,%
 \begin{equation}
 \oint f\left(  z\right)  dz=2\pi i\sum_{k}\text{Res}\left(
 f,z_{k}\right)  .
 \end{equation}
 \begin{equation}
 Res(f,a)=\frac{1}{\left(  m-1\right)
 !}\underset{z\rightarrow a}{\lim}\left\{  \frac{ d^{m-1}}{ d%
 z^{m-1}}\left[  \left(  z-a\right)  ^{m}f\left(  z\right)  \right]  \right\}
 \end{equation}

 If we consider the retarded Green's function $G_{\text{ret}}$,
 which we get by integrating along $\Gamma_1$, we see that
 for $z^0 < 0$, $G(x,x') = 0$ as we can close the contour
 in the upper half plane and apply Cauchy's theorem.  For
 $z^0 > 0$ we have to close the contour in the lower half plane.  In doing
 this we pick up two poles at $\pm |\vec{k}|$ and can apply the residue
 theorem.

 The advanced Green's function $G_{\text{adv}}$ is obtained by
 integrating along $\Gamma_2$.  In this case $G$ is only non-zero
 for $z^0 > 0$.

 The retarded Green's function agrees with intuitive
 ideas of causality so we use that.  All we have to do now is
 evaluate it.

 Los residuos son
 \begin{equation}
 \text{Res}\left(  f,\pm k\right)  =\pm \frac{e^{\mp ikz^0}}{2k}.
 \end{equation}
 Debemos escoger el contorno de integración. \'{E}ste debe
 incluir al eje real, el resto del contorno lo escogemos de modo
 que $f\left(  z\right)  $ se
 anule allí. Ver figura (\ref{contornos})

 Usando el teorema del residuo encontramos que, para $z>0$,
 \begin{figure}[h]
 \centerline{\psfig{file=fig-contorno-01.eps,height=5cm,angle=0}}
 \caption{Distintos contornos de integración en el plano complejo.}
 \label{contornos}
 \end{figure}
 \begin{equation}
 \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ik^0 z^0}}{(k^0)^2-k^2}\,dk^0=\pi
 i\frac{e^{iz^0k}}{k},
 \end{equation}
 donde ya hemos hecho el límite $\varepsilon\rightarrow0$.
 Reemplazando en (\ref{R-rela02}), tenemos%
 \begin{equation}
 G(z^\mu)  =\frac{1}{(2\pi)  ^4}\int
 e^{i\vec{k}\cdot\vec{z}}~\pi i\frac{e^{iz^0k}}{k}~d^3k.
 \end{equation}

 Ahora veamos la parte espacial. Usamos coordenadas esféricas
 en el espacio $k$, con el eje $k_{3}$ en la dirección $\vec{z}$.
 Ver figura (\ref{R4}).
 \begin{figure}[h]
 \centerline{\psfig{file=fig-espacio-k.eps,height=5cm,angle=0}}
 \caption{Coordenadas esféricas en el espacio $\vec{k}$.}
 \label{R4}
 \end{figure}

 Llamando $r=\left\vert \vec{z}\right\vert $, tenemos%
 \begin{align*}
 G(z^\mu)    & =\frac{\pi i}{(2\pi)
 ^4}\int
 _{0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{k}e^{ikr\cos\theta
 }~e^{iz^0k}~k^2dk\sin\theta d\theta d\varphi\\
 & =\frac{2\pi^2i}{(2\pi)
 ^4}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\pi
 }e^{ikr\cos\theta}~~\sin\theta d\theta e^{iz^0k}kdk\\
 & =\frac{-1}{8\pi^2r}\int_{0}^{\infty}\left.  \left(
 e^{ikr\cos\theta
 }\right)  \right\vert _{\theta=0}^{\theta=\pi}~e^{iz^0k}dk\\
 & =\frac{-1}{8\pi^2r}\int_{0}^{\infty}\left(  e^{ikr\left(
 z^0-r\right) }-e^{ikr\left(  z^0+r\right)  }\right)  dk.
 \end{align*}
  En resumen,%
 \begin{equation}
 G(z^\mu)  =\frac{-1}{8\pi^2r}\left\{
 \int_{-\infty}^{\infty }e^{ikr\left(  z^0-r\right)
 }dk-\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikr\left( z^0+r\right)
 }dk\right\}  .
 \end{equation}
 De las propiedades de la delta de Dirac, obtenemos que%
 \begin{equation}
 G(z^\mu)  =\frac{-1}{8\pi^2r}\left\{
 2\pi\delta\left( z^0-r\right)  -2\pi\delta\left(  z^0+r\right)
 \right\}  .
 \end{equation}
 Pero, puesto que $z^0+r=ct+r$ es siempre positivo, entonces
 $\delta\left(
 z^0+r\right)  =0$. Por lo tanto,%
 \begin{equation}
 G_{\rm ret}(z^\mu)  =\frac{1}{4\pi r}\delta\left(
 z^0-r\right)  .
 \end{equation}
 Usando
 \begin{equation}
 \delta\left(  x^2-a^2\right)  =\frac{1}{2a}\left\{
 \delta\left( x-a\right)  +\delta\left(  x+a\right)  \right\}  ,
 \end{equation}
 y  tomando en cuenta que $z_\mu z^\mu =(z^0)^2-r^2$, podemos escribir
 \begin{equation}
 G_{\rm ret}(z^\mu)  =\frac{\Theta(z_0)}{2\pi}\delta(z_\mu z^\mu) .
 \end{equation}
 Por lo que,%
 \begin{equation}
 \Psi_{\rm ret}(x)=\frac{2}{c}\int\Theta(x_0-x'_0)\delta\left[(x^{\alpha}-x^{\prime\alpha})  (x_{\alpha}-x_{\alpha }')\right] g(x^{\prime\alpha})\,d^4x'.\label{R-rela04}%
 \end{equation}