Add: Add 2025/11/25

Author: whats2000

1015-Smallest Integer Divisible by K/Note.md

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+# 1015. Smallest Integer Divisible by K
+
+Given a positive integer `k`, you need to find the length of the smallest positive integer `n` such that n is divisible by `k`, and `n` only contains the digit `1`.
+
+Return the length of `n`. 
+If there is no such `n`, return -1.
+
+Note: `n` may not fit in a 64-bit signed integer.
+
+**Constraints:**
+
+- `1 <= k <= 10^5`
+
+## 基礎思路
+
+本題要找的是一個**只由數字 `1` 組成的正整數 `n`**（例如：`1`, `11`, `111`, ...），
+使得它能被給定的正整數 `k` 整除，並回傳這個 `n` 的「位數長度」。若不存在則回傳 `-1`。
+
+關鍵觀察有以下幾點：
+
+1. **數字結構固定為「重複的 1」**
+   第 1 個候選是 `1`，第 2 個是 `11`，第 3 個是 `111`，依此類推。
+   這些數字可以用遞推的方式建立：
+
+    * $R_1 = 1$
+    * $R_2 = 11 = (R_1 * 10 + 1)$
+    * $R_3 = 111 = (R_2 * 10 + 1)$
+
+   因為數值本身可能非常巨大，實作上只能追蹤「除以 k 的餘數」。
+
+2. **避免整數溢位：只追蹤餘數即可**
+   若我們令 $r_i$ 為 $R_i \bmod k$，則有以下遞推關係：
+
+   $$
+   r_i = (r_{i-1} \times 10 + 1) \bmod k
+   $$
+
+   只要有某個 $i$ 使得 $r_i = 0$，就代表長度為 $i$ 的全 1 數字可以被 $k$ 整除。
+
+3. **模運算中的鴿籠原理（餘數有限）**
+   所有可能的餘數只有 $0, 1, ..., k-1$ 共 $k$ 種。
+   若我們從長度 1 一路試到長度 $k$ 都沒有看到餘數 `0`，
+   則必然已經出現「某個餘數重複」，之後只會在循環中打轉，不可能再得到新的餘數 `0`。
+   因此 **最長只需要檢查長度 1 到 $k$** ，超過就可以直接判定為不存在。
+
+4. **2 與 5 的整除性特例**
+   任何只由 `1` 組成的數字，其尾數必為 `1`，
+   因此不可能是 2 的倍數，也不可能是 5 的倍數。
+   若 $k$ 含有質因數 2 或 5（亦即 $k \bmod 2 == 0$ 或 $k \bmod  5 == 0$），
+   則不可能存在這樣的 $n$，直接回傳 `-1`。
+
+綜合以上，我們可以以模擬「逐步建立全 1 數字的餘數」的方式來找解，
+並利用 2/5 的特例與鴿籠原理控制迴圈上限。
+
+## 解題步驟
+
+### Step 1：特例判斷（必要條件）
+
+若 `k` 可被 2 或 5 整除，repunit 不可能被其整除，因此立即返回 -1。
+
+```typescript
+// 若能被 2 或 5 整除，repunit 不可能被 k 整除
+if (k % 2 === 0 || k % 5 === 0) {
+  return -1;
+}
+```
+
+### Step 2：初始化餘數並開始逐步構造 repunit
+
+使用 `remainder` 表示當前 repunit 的餘數。
+之後從長度 1 一路嘗試到 k，套用公式更新餘數。
+
+```typescript
+// 構造 repunit 時的餘數
+let remainder = 0;
+```
+
+### Step 3：在迴圈中構造 repunit 的餘數並檢查是否可整除
+
+每次迴圈將 repunit 往右擴增一位 `1`，並檢查餘數是否變為 0。
+若是，立刻回傳長度；若直到長度 k 都無法整除，返回 -1。
+
+```typescript
+// 依鴿籠原理，最多只需搜尋到長度 k
+for (let length = 1; length <= k; length++) {
+  // 更新 remainder = (remainder * 10 + 1) % k
+  remainder = remainder * 10 + 1;
+  remainder = remainder % k;
+
+  // 若餘數為 0，表示長度 length 即為答案
+  if (remainder === 0) {
+    return length;
+  }
+}
+
+return -1;
+```
+
+## 時間複雜度
+
+- 最多嘗試長度從 1 到 `k` 的所有候選長度，每次更新與檢查為常數時間；
+- 迴圈內僅進行簡單整數運算與取模操作。
+- 總時間複雜度為 $O(k)$。
+
+> $O(k)$
+
+## 空間複雜度
+
+- 僅使用常數個變數（`remainder` 與計數變數 `length`）；
+- 無額外與 `k` 成比例的資料結構。
+- 總空間複雜度為 $O(1)$。
+
+> $O(1)$

1015-Smallest Integer Divisible by K/answer.ts

@@ -0,0 +1,26 @@
+function smallestRepunitDivByK(k: number): number {
+  // If divisible by 2 or 5, repunits cannot be divisible by k
+  if (k % 2 === 0 || k % 5 === 0) {
+    return -1;
+  }
+
+  // Remainder when building repunits mod k
+  let remainder = 0;
+
+  // Upper bound of search determined by pigeonhole principle
+  for (let length = 1; length <= k; length++) {
+    // Update remainder = (remainder * 10 + 1) % k
+    remainder = remainder * 10 + 1;
+
+    // This modulo is unavoidable, but keeping it alone inside
+    // the loop is the minimal possible cost
+    remainder = remainder % k;
+
+    // When remainder hits zero, we found the answer
+    if (remainder === 0) {
+      return length;
+    }
+  }
+
+  return -1;
+}

1015-Smallest Integer Divisible by K/questionCode.ts

@@ -0,0 +1,3 @@
+function smallestRepunitDivByK(k: number): number {
+
+}