Add: Add 2025/11/24

Author: whats2000

1018-Binary Prefix Divisible By 5/Note.md

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+# 1018. Binary Prefix Divisible By 5
+
+You are given a binary array `nums` (0-indexed).
+
+We define `x_i` as the number whose binary representation is the subarray `nums[0..i]` (from most-significant-bit to least-significant-bit).
+
+- For example, if `nums = [1,0,1]`, then `x_0 = 1`, `x_1 = 2`, and `x_2 = 5`.
+
+Return an array of booleans `answer` where `answer[i]` is `true` if `x_i` is divisible by `5`.
+
+**Constraints:**
+
+- `1 <= nums.length <= 10^5`
+- `nums[i]` is either `0` or `1`.
+
+## 基礎思路
+
+本題給定一個二元陣列 `nums`，其前綴子陣列 `nums[0..i]` 代表一個從最高位到最低位的二進位整數 `x_i`。
+我們需要判斷每個 `x_i` 是否能被 5 整除。
+
+要注意的幾個重點：
+
+- **輸入長度最大可達 10^5，無法將整個前綴轉成大整數再判斷**，因為數值會極度膨脹。
+- **二進位左移相當於乘以 2**，因此可用逐步更新方式維護前綴值。
+- **只需要前綴值 `mod 5`**：因為判斷是否可被 5 整除，只需知道餘數是否為 0。
+- **模運算可維持在小範圍（0–4）**，避免 expensive 的 `%` 運算。
+- 每次計算只需要：
+
+    - 將前綴值左移（乘以 2）
+    - 加上目前位元
+    - 並維持在 `mod 5` 範圍
+
+這樣可以線性時間完成所有前綴的可整除性判斷。
+
+## 解題步驟
+
+### Step 1：初始化結果陣列與前綴餘數狀態
+
+建立用來存放結果的布林陣列，並準備 `prefixModulo` 來追蹤前綴值對 5 的餘數。
+
+```typescript
+const length = nums.length;
+const result: boolean[] = new Array(length);
+
+// 追蹤目前前綴值對 5 的餘數
+let prefixModulo = 0;
+```
+
+### Step 2：主迴圈 — 依序處理每一個 bit
+
+逐一讀取 `nums[index]` 作為目前位元，並依據二進位特性更新前綴餘數。
+
+```typescript
+for (let index = 0; index < length; index++) {
+  const currentBit = nums[index];
+
+  // ...
+}
+```
+
+### Step 3：更新前綴值（透過位移與加法）
+
+二進位前綴的更新方式為：
+**前綴 × 2 + 當前 bit**
+使用左位移以提升效率。
+
+```typescript
+for (let index = 0; index < length; index++) {
+  // Step 2：主迴圈 — 依序處理每一個 bit
+
+  // 更新前綴：左移一位（乘以 2）再加上目前位元
+  prefixModulo = (prefixModulo << 1) + currentBit;
+
+  // ...
+}
+```
+
+### Step 4：維持前綴餘數於 0~4 範圍（避免 expensive 模運算）
+
+若前綴餘數 ≥ 5，扣除 5 即等同於 `% 5`。
+
+```typescript
+for (let index = 0; index < length; index++) {
+  // Step 2：主迴圈 — 依序處理每一個 bit
+
+  // Step 3：更新前綴值（位移 + 加法）
+
+  // 將 prefixModulo 維持在 [0, 4] 範圍，不使用 costly 的 % 運算
+  if (prefixModulo >= 5) {
+    prefixModulo -= 5;
+  }
+
+  // ...
+}
+```
+
+### Step 5：紀錄當前前綴是否可被 5 整除
+
+若當前餘數為 0，表示目前前綴值可被 5 整除。
+
+```typescript
+for (let index = 0; index < length; index++) {
+  // Step 2：主迴圈 — 依序處理每一個 bit
+
+  // Step 3：更新前綴值（位移 + 加法）
+
+  // Step 4：維持前綴餘數於 0~4 範圍
+
+  // 判斷前綴是否可被 5 整除
+  result[index] = prefixModulo === 0;
+}
+
+return result;
+```
+
+## 時間複雜度
+
+- 每個元素僅被處理一次，所有更新皆為常數時間。
+- 總時間複雜度為 $O(n)$。
+
+> $O(n)$
+
+## 空間複雜度
+
+- 需輸出長度為 n 的 `boolean[]`，其餘變數為常數額外空間。
+- 總空間複雜度為 $O(n)$。
+
+> $O(n)$

1018-Binary Prefix Divisible By 5/answer.ts

@@ -0,0 +1,24 @@
+function prefixesDivBy5(nums: number[]): boolean[] {
+  const length = nums.length;
+  const result: boolean[] = new Array(length);
+
+  // Keep track of the current prefix value modulo 5
+  let prefixModulo = 0;
+
+  for (let index = 0; index < length; index++) {
+    const currentBit = nums[index];
+
+    // Update prefix: multiply by 2 using bit shift and add current bit
+    prefixModulo = (prefixModulo << 1) + currentBit;
+
+    // Keep the prefixModulo in [0, 4] without using costly modulo operator
+    if (prefixModulo >= 5) {
+      prefixModulo -= 5;
+    }
+
+    // Record whether current prefix value is divisible by 5
+    result[index] = prefixModulo === 0;
+  }
+
+  return result;
+}

1018-Binary Prefix Divisible By 5/questionCode.ts

@@ -0,0 +1,3 @@
+function prefixesDivBy5(nums: number[]): boolean[] {
+
+}