Add: Add 2025/11/20

Author: whats2000

757-Set Intersection Size At Least Two/Note.md

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+# 757. Set Intersection Size At Least Two
+
+You are given a 2D integer array `intervals` where `intervals[i] = [start_i, end_i]` represents all the integers from `start_i` to `end_i` inclusively.
+
+A containing set is an array `nums` where each interval from `intervals` has at least two integers in `nums`.
+
+- For example, if `intervals = [[1,3], [3,7], [8,9]]`, then `[1,2,4,7,8,9]` and `[2,3,4,8,9]` are containing sets.
+
+Return the minimum possible size of a containing set.
+
+**Constraints:**
+
+- `1 <= intervals.length <= 3000`
+- `intervals[i].length == 2`
+- `0 <= start_i < end_i <= 10^8`
+
+## 基礎思路
+
+本題要求構造一個整數集合，使得給定的每個區間都至少包含其中兩個數字，並希望集合的大小最小。
+
+在觀察所有區間後，可以得到以下核心思維：
+
+1. **每個區間都需要被至少兩個點覆蓋**
+   因此若一個區間尚未被現有點覆蓋，必須新增足夠的點補上。
+
+2. **儘可能將新增點放在越右側的位置**
+   放置越靠右的點較容易同時落入未來區間，能減少之後的新增需求。
+
+3. **適當排序能讓貪心決策具備全域最優性**
+   若依照區間的右端點由小到大排序，則每次處理到的都是「最先到期」的區間，使得貪心選點策略能成立。
+   若右端點相同，再依左端點由大到小處理，可避免提前選點造成後續覆蓋困難。
+
+4. **每個區間根據已被覆蓋的點數分成三類情況**
+
+    * 沒有覆蓋 → 必須新增兩個點
+    * 覆蓋一個 → 必須新增一個點
+    * 覆蓋兩個以上 → 不需新增
+      此策略搭配排序可以確保最少新增次數。
+
+5. **最終的策略為典型的右端點貪心方法**
+   透過排序與依序處理區間，加上將新增點放置於區間最右側位置，能保證各區間以最小集合大小被覆蓋。
+
+## 解題步驟
+
+### Step 1：排序所有區間
+
+依右端點由小到大排序；若右端相同，則依左端點由大到小排序。
+此排序方式能讓貪心的覆蓋策略保持正確性。
+
+```typescript
+const intervalsLength = intervals.length;
+
+// 依 end 由小到大排序；若 end 相同則依 start 由大到小排序
+intervals.sort((firstInterval, secondInterval) => {
+  const firstEnd = firstInterval[1];
+  const secondEnd = secondInterval[1];
+
+  if (firstEnd === secondEnd) {
+    // 相同 end 時，start 較大的排前
+    return secondInterval[0] - firstInterval[0];
+  }
+
+  return firstEnd - secondEnd;
+});
+```
+
+### Step 2：初始化兩個追蹤點與計數器
+
+準備追蹤目前已加入集合的最大值與第二大值，以辨識每個區間已被覆蓋多少點。
+
+```typescript
+let minimumContainingSetSize = 0;
+
+// lastPoint：目前已選點中最大者
+// secondLastPoint：目前已選點中第二大者
+let lastPoint = -1;
+let secondLastPoint = -1;
+```
+
+### Step 3：遍歷各區間並依覆蓋狀態補點
+
+依序處理排序後的區間，並根據已覆蓋的點數（0、1、或≥2）決定是否需要補點。
+
+```typescript
+for (let index = 0; index < intervalsLength; index += 1) {
+  const currentInterval = intervals[index];
+  const intervalStart = currentInterval[0];
+  const intervalEnd = currentInterval[1];
+
+  if (intervalStart > lastPoint) {
+    // 區間中沒有任何既有點 → 補兩點（end-1 與 end）
+    // 將點放越右越有利於覆蓋後續區間
+    secondLastPoint = intervalEnd - 1;
+    lastPoint = intervalEnd;
+    minimumContainingSetSize += 2;
+  } else if (intervalStart > secondLastPoint) {
+    // 區間中僅有一個既有點 → 補一點 end
+    secondLastPoint = lastPoint;
+    lastPoint = intervalEnd;
+    minimumContainingSetSize += 1;
+  }
+  // 若已有兩點落在區間內，則不需補點
+}
+```
+
+### Step 4：回傳最終所需的最小集合大小
+
+```typescript
+return minimumContainingSetSize;
+```
+
+## 時間複雜度
+
+- 排序所有區間：最壞情況為 $O(n^2)$（JavaScript V8 在自訂比較函式下可能退化），平均情況約為 $O(n \log n)$
+- 逐一處理區間：$O(n)$
+- 總時間複雜度為 $O(n^2)$
+
+> $O(n^2)$
+
+## 空間複雜度
+
+- 僅使用常數額外變數
+- 總空間複雜度為 $O(1)$
+
+> $O(1)$

757-Set Intersection Size At Least Two/answer.ts

@@ -0,0 +1,48 @@
+function intersectionSizeTwo(intervals: number[][]): number {
+  const intervalsLength = intervals.length;
+
+  // Sort by end ascending; if end is the same, sort by start descending
+  intervals.sort((firstInterval, secondInterval) => {
+    const firstEnd = firstInterval[1];
+    const secondEnd = secondInterval[1];
+
+    if (firstEnd === secondEnd) {
+      // For same end, place the interval with larger start first
+      return secondInterval[0] - firstInterval[0];
+    }
+
+    return firstEnd - secondEnd;
+  });
+
+  let minimumContainingSetSize = 0;
+
+  // lastPoint: largest selected point so far
+  // secondLastPoint: second largest selected point so far
+  let lastPoint = -1;
+  let secondLastPoint = -1;
+
+  for (let index = 0; index < intervalsLength; index += 1) {
+    const currentInterval = intervals[index];
+    const intervalStart = currentInterval[0];
+    const intervalEnd = currentInterval[1];
+
+    if (intervalStart > lastPoint) {
+      // No selected point falls inside this interval; need two new points.
+      // Choose them as far to the right as possible (end - 1 and end)
+      // to maximize coverage of upcoming intervals.
+      secondLastPoint = intervalEnd - 1;
+      lastPoint = intervalEnd;
+      minimumContainingSetSize += 2;
+    } else if (intervalStart > secondLastPoint) {
+      // Exactly one selected point is inside this interval (lastPoint).
+      // Add one more point at the rightmost position (end).
+      secondLastPoint = lastPoint;
+      lastPoint = intervalEnd;
+      minimumContainingSetSize += 1;
+    }
+    // Else: interval already contains both secondLastPoint and lastPoint,
+    // so it is already satisfied; no action required.
+  }
+
+  return minimumContainingSetSize;
+}

757-Set Intersection Size At Least Two/questionCode.ts

@@ -0,0 +1,3 @@
+function intersectionSizeTwo(intervals: number[][]): number {
+
+}