Musterprotokoll_WS20.tex

\documentclass[a4paper,oneside,12pt,titlepage]{scrartcl}   %Grundeinstellungen
%
% Technische Universitaet Berlin
% Fachgebiet fuer Elektronische Mess- und Diagnosetechnik
% Vorlage fuer Protokoll zum Praktikum Grundlagen der elektronischen Messtechnik
% Berlin Oktober 2012 / Nov 2020
% Erstellt von Elvira Fleig und Sebastian Nowoisky
%
%Pakete bei Bedarf auskommentieren
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\usepackage[utf8]{inputenc}
%!!! Es könnte sein, dass ihr eine andere Kodierung braucht. Wenn ihr Probleme mit der Anzeige von Umlauten habt, probiert es mit "latin1" (Windows), "applemac" (Mac OS) oder "utf8" (Unix).!!!
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\usepackage[amssymb]{SIunits} 
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%BibTex nützlich zum Zitieren. Kann bei Nichtgebrauch auch auskommentiert werden.
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%Listings um Scilabquellcode leichter einzufügen

\usepackage{listings}

\lstset{%
	 basicstyle=\scriptsize\ttfamily,
   keywordstyle=\bfseries\ttfamily\color{NavyBlue},
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   commentstyle=\color{Green}\ttfamily,
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}


%Header Definitionen
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%Abstand zwischen Absätzen, Zeilenabstände
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%Hier beginnt das Dokument
 \begin{document}
\pagenumbering{roman}

\titlehead
{
\begin{tabular}{ll}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
 \begin{figure}[H]
 \raggedright
  \includegraphics[scale=0.15]{MDT-logo}\\
\end{figure}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{figure}[H]
\raggedleft
\includegraphics[scale=0.04]{tu-logo}\\
\end{figure}
\end{minipage}
\end{tabular}\\
\\
  \small
      {
	Technische Universität Berlin, Fakulät IV\\
	Institut für Energie und Automatisierungstechnik\\
	Fachgebiet Elektronische Mess- und Diagnosetechnik\\

	Praktikum Grundlagen der elektronischen Messtechnik\\
	Betreuung: \textcolor[rgb]{1,0,0.26}{\textbf{Emil Arthur Thaon de Saint André}}\\
	WS 2020/21}

}

\title {Versuchsprotokoll}
\subtitle{Versuch 2\\
Messunsicherheit}
\author{Nikolaos Athanasiadis (409134)\\  Íñigo Sebastián Vicente Vargas (409821)\\ Luka Lolović (409717)}

\date{\today\\*[60pt]}   %Stellt das Datum ein /today wählt automatisch das aktuelle Datum, kann aber auch manuell eingestellt werden

\maketitle  %Erstellt das Titelblatt wie oben definiert

\thispagestyle{empty}

\newpage

%Einstellungen zur Kopf- und Fußzeile
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{Athanasiadis, Vicente, Lolović}	%Head = oben, foot = unten mit jeweiliger Option [L,C,R]
\fancyhead[R]{Versuchsprotokoll Versuch 1}


 \tableofcontents % Inhaltsverzeichnis, auskommentieren wenn unnötig
 \newpage


\pagenumbering{arabic}

\section{Einleitung}
\label{sec:Einleitung}
In diesem Protokoll werden wir die Unsicherheit bei elektronischen Messungen untersuchen, sowie die Mathematik erläutern, die zu ihrer Beschreibung dient.

\section{Theoretische Aufgaben}
\label{sec:Theoretische Aufgaben}
Die Vorbereitungsaufgaben finden hier im Protokoll ihren besonderen Platz.

\subsection{Aufgabe 1 - Systematische Messabweichungen, zufällige Messabweichungen}
\label{sec:Aufgabe1}
Worin unterscheiden sich zufällige und systematische Messabweichungen bezüglich ihrer Ursachen und Beschreibungen?
\begin{enumerate}
    \item Systematische Abweichung

\begin{itemize}
    \item Zuleitungen - bekannte systematische Abweichung \(R_L = \rho \cdot \frac{l}{A}\)
    \item Umrechnung der Spannung in Temperatur (Kennlinienfehler) – bekannte
systematische Messabweichung
    \item Ungenauigkeit des Messgerätes (Herstellerangabe) - unbekannte systematische Abweichung
\end{itemize}
\item Zufällige Abweichung:
\begin{itemize}
    \item Rauschspannungen
    \item Störspannungen
\end{itemize}

\end{enumerate}
\subsection{Aufgabe 2 - Zufallsexperiment, Zufallsvariable}
\label{sec:Aufgabe2}
Was verstehen Sie unter den Begriffen Zufallsexperiment und Zufallsvariable?
\begin{enumerate}
\item Zufallsexperiment:
\par Ein Versuch, der unter genau festgelegten Versuchsbedingungen durchgeführt wird und dessen Ausgang mit einer gewissen Unsicherheit behaftet ist.
\item Zufallsvariable:
\par Eine Funktion, die jedem Elementarereignis \(\omega\) aus der Ergebnismenge \(\Omega\) eines Zufallsexperiments genau eine reelle Zahl \textit{x} zuordnet.
\end{enumerate}
\subsection{Aufgabe 3 - Messen}
\label{sec:Aufgabe3}
Angenommen, eine Messgröße wird als Zufallsvariable interpretiert, ist dann die zeitliche Reihenfolge bei mehreren Messungen von Bedeutung? Begründen Sie ihre Antwort!
\par Nein. Die zeitliche Reihenfolge spielt keine Rolle, da diese Variable bei den Messungen immer \underline{einen} Wert \textit{(den Mittelwert)} ungleichmäßig umkreist.

\subsection{Aufgabe 4 - Empirischer Mittelwert und empirische Varianz}
\begin{tabularx}{1\textwidth} { 
  | >{\centering\arraybackslash}X 
  | >{\centering\arraybackslash}X 
  | >{\centering\arraybackslash}X
  | >{\centering\arraybackslash}X
  | >{\centering\arraybackslash}X
  | >{\centering\arraybackslash}X
  | >{\centering\arraybackslash}X
  | >{\centering\arraybackslash}X
  | >{\centering\arraybackslash}X
  | >{\centering\arraybackslash}X
  | >{\centering\arraybackslash}X| }
 \hline 
 Index & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
 \hline
 U  & 230 & 231 & 231 & 234 & 235 & 235 & 236 & 230 & 233 & 236  \\
\hline
\end{tabularx}
\newline \newline \textit{Tabelle 2.1 - Beispieldatensatz}\newline  \newline
\label{sec:Aufgabe4}
Welche Bedeutung haben der empirische Mittelwert und die empirische Varianz? Berechnen
Sie für den Beispieldatensatz den empirischen Mittelwert und die empirische Varianz. Was ist
die Standardabweichung?
\begin{enumerate}
    \item Empirischer Mittelwert:
    \par Das arithmetische Mittel einer Stichprobe.
    \[\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k \]
    \item Empirische Varianz:
    \par Die mittlere quadratische Abweichung der Messwerte eines Zufallsexperimentes vom empirischen Mittelwert.
    \[s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n} (x_k-\bar{x})^2 \]
    \item Standardabweichung
    \par Der Fehler des mittleren Quadrats.
    \[\sigma=\sqrt{Var	\{ X \}} \]
\end{enumerate}
    \par Rechnung auf Python
    \begin{minted}[mathescape,
               linenos,
               numbersep=5pt,
               gobble=2,
               frame=lines,
               framesep=2mm]{python}
        import numpy as np
        voltage = np.array([230,231,231,234,235,235,236,230,233,236])
        empmitt = np.mean(voltage)  #Empirischer Mittelwert
        empvar = np.var(voltage)    #Empirische Varianz
        \end{minted}

\subsection{Aufgabe 5 - Standardabweichung des Mittelwerts}
\label{sec:Aufgabe5}

Berechnen Sie für den Beispieldatensatz die empirische Standardabweichung des Mittelwerts \(s_\bar {x}\)
 \par Rechnung auf Python
    \begin{minted}[mathescape,
               linenos,
               numbersep=5pt,
               gobble=2,
               frame=lines,
               framesep=2mm]{python}
        import numpy as np
        voltage = np.array([230,231,231,234,235,235,236,230,233,236])
        standabw = np.std(voltage) #Standardabweichung
\end{minted}

\subsection{Aufgabe 6 - Messunsicherheit des Messgeräts}
\label{sec:Aufgabe6}
Ermitteln Sie für den Beispieldatensatz die Genauigkeit des Messgeräts G mit Hilfe der Tabelle
2.2. Gehen Sie davon aus, dass die letzte Kalibrierung mehr als drei Monate, aber weniger als ein Jahr zurück liegt.

   

\newpage        
\includegraphics[scale=0.8]{Fluke Multimeter.png}
\newline Tabelle 2.2
\newline 

\subsection{Aufgabe 7 - Das vollständige Messergebnis}
\label{sec:Aufgabe7}

Berechnen Sie für den Beispieldatensatz die Standardmessunsicherheit (d. h. k = 1), die durch
die Messabweichung des Messgerätes und die zufällige Messabweichung (entsprechend der
empirischen Standardabweichung des Mittelwertes \(s_\bar{x}\)) hervorgerufen wird. Die Genauigkeitsangabe des Messgeräts bezieht sich auf eine statistische Sicherheit von P = 0,99 bzw. k = 2,6.
Geben Sie im Anschluss das vollständige Messergebnis an.

\(\bar{x} = 233,1V\)

\({e_{su}} = ±233.1 \cdot 0.0006+1000 \cdot 0.000225 = ±0,36486V\)

\(s_e_{e_{su}}  = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 0.36486 V\)

\(s_{\bar{x}} = \sqrt{s^{2}} = 2.424 V\)

\(\textit{u} = \sqrt{s_{\bar{x}}^{2} + s_e_{e_{su}^{2}))}} \approx 2.4331 V\)

\(U = \bar{x} \pm k \cdot u = (233.1± k \cdot 2.4331) V\)

Für k=1

\(\textit{U}=(233.1 \pm 2.4331)V\)

Für k=2

\textit{U}=(233.1 \pm 6.3261)V

\subsection{Aufgabe 8 - Häufigkeit und Häufigkeitsverteilung}
\label{sec:Aufgabe8}
Was versteht man unter den Begriffen „absolute“ und „relative“ Häufigkeit? Was ist ein Histogramm?
\begin{itemize}
    \item Absolute Häufigkeit:
    \par Unter der absoluten Häufigkeit \(H_n(x)\) eines Ereignisses x versteht man, wie oft x innerhalb einer Strichprobe mit dem Umfang n vorkommt.
    \item Relative Häufigkeit:
    \par Die relative Häufigkeit \(h_n(x)\) erhält man, indem man die absolute Häufigkeit \(H_n(x)\) durch die Anzahl der Versuche n teilt.
    \[h_n(x)=\frac{H_n(x)}{n}\]
    \item Histogramm:
    \par Ein Histogramm ist eine Grafik, in der die absolute oder relative Häufigkeitsverteilung bestimmter Ausprägungen einer Variable abgelesen werden kann.
\end{itemize}

\subsection{Aufgabe 9 - Gaußverteilung}
\label{sec:Aufgabe9}
Wie ist die Gaußverteilung definiert? Worin liegt ihre Bedeutung? Was ist nötig, um den Beispieldatensatz so gut wie möglich mit einer Gaußverteilung zu beschreiben?
\par Die Gauß-Verteilung ist in der Stochastik ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
\par Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, dem zufolge Verteilungen, die durch additive Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind.
\[f_x(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot exp(-\frac{(\chi - \mu)^2}{2\sigma ^2})\]
Eigenschaften:
\begin{itemize}
    \item Positive und negative Abweichungen gleich häufig
\item Kleine Abweichungen häufiger als große
\item Abweichungen der Größenordnung 0 am häufigsten
\item Der Erwartungswert und die Varianz beschreiben die Normalverteilung
vollständig.
\end{itemize}
Schritte, um den Beispieldatensatz mit einer Gaußverteilung zu beschreiben:

\begin{enumerate}
    \item Sortieren der Messwerte in aufsteigender Reihenfolge.
    \item x-Achse in m Intervalle der Breite \(\Delta\)x unterteilen.
    \item Bestimmung der relativen Häufigkeiten bezogen auf die Klassenbreite \(h_\nu=\frac{n_\nu}{N\cdot \Delta x}\) mit der Gesamtzahl der Messwerte \(N=\sum_{\nu=1}^{m} n_\nu \)
    \item Grafische Darstellung der relativen Häufigkeiten im Histogramm-Plot 
\end{enumerate}

\newpage

\section{Versuch 1}
 
Anschließend wird auf den ersten Versuch des Labortermins eingegangen mit Versuchsvorbereitung, -aufbau und der Auswertung.
\subsection{Versuchsvorbereitung}

\begin{figure}[H] %H Bild Hier, h Bild auf Seite
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Versuchsaufbau} 
\caption{Versuchsaufbau im Versuch Messrauschen}
\label{fig:Versuchsaufbau} %Label idealerweise gleich wie Dateinamen (Zuordnung)
\end{figure}

Wie wurde der Versuch aufgebaut, was für Voreinstellungen mussten vorgenommen werden? Fügt auch Bilder des Schaltplanes ein. In Abbildung \ref{fig:Versuchsaufbau} wird der Schaltpan aus dem Versuch Messrauschen gezeigt. Wenn ihr "label" \,benutzt, könnt ihr euch später leichter auf die Abbildung mit "'ref" \,beziehen. Dies ist vorallem nützlich wenn Texte länger werden und man sich nicht mehr alle Abbildungsnummern merken kann. Gestaltet die Bilduntertitel immer so, dass man auf den ersten Blick erkennen kann worum es sich bei diesem Bild handelt. Kennzeichnet immer die Quelle der Bilder direkt am Bild nochmal.


\subsection{Versuchsdurchführung und Auswertung}
Wie wurde bei diesem Versuch vorgegangen und traten Probleme auf? \\
Stellt eure Ergebnisse in der günstigsten Form dar. Entweder als Grafik oder mit einer Tabelle.
\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
Spalte 1 & Spalte 2 &Spalte 3 \\\hline
A & B & C\\\hline
1 & 2 & 4\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{tab:Tabelle}
\end{table}
\noindent  Um zwei vergleichbare Ergebnisse im Plot darzustellen kann die Subfigureumgebung benutzt werden. 
Die Amplitude der ersten Messung in Abbildung \ref{fig:MT1} beträgt $\unit{5,0}{\volt}$ und in Abbildung \ref{fig:MT2} beträgt diese $\unit{4,9}{\volt}$.
Eine weitere Alternative um Unterschiede zwischen ähnlichen Versuchen leicht erkennbar zu machen, sind Minipages.\\
%\noindent verhindert es, dass eine Zeile eingerückt wird.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\subfigure[Messung 1]{\label{fig:MT1}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{MT1} }
\hspace{15mm} %\vspace{x mm}
\subfigure[Messung 1]{\label{fig:MT2}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{MT2} }
\end{center}
\caption[Ergebnisse der Messung]{Die Ergebnisse der Messung in a) ohne Filter und in b) mit Filter.}
\end{figure}

\begin{tabular}{ll}

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Versuchsergebnis A
\begin{itemize}
\item Amplitude $\unit{5,0}{\volt}$
\end{itemize}
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Versuchsergebnis B
\begin{itemize}
\item Amplitude $\unit{4,9}{\volt}$
\end{itemize}
\end{minipage}

\end{tabular}
\newpage
\noindent Hier ist auch Platz für eure Auswertungen der Messdaten mit Python. Diese könnt ihr direkt einbinden und natürlich auch darauf verweisen als Codebeispiel \ref{lst:Beispiel}.
\lstset{caption={Beispielcode aus Python},label=lst:Beispiel}
\lstinputlisting[captionpos=b, linewidth=\textwidth, firstline =8,lastline=14, firstnumber=4]{Beispiel.py}


\subsection{Auswertung}
\label{sec:Auswertung}
Wie bewertet ihr den Versuch? Unterscheidet sich das zuvor errechnete oder erwartete Ergebniss vom tatsächlichen? Wie lässt sich das erklären?

\newpage

\section{Zusammenfassung}
\label{sec:Zusamenfassung}
Zusammenfassung des Labortermins.

%Tipps für den Einstieg, bitte gebt sie nicht mit ab.
\section{Hinweise und Tipps}
\begin{itemize}
	\item In jedes Protokoll gehört auch ein Quellenverzeichnis. Fremde Literatur, Grafiken, etc werden dort vermerkt. %Zur Weiterführung: BibTex ermöglicht ein sauberes Literaturverzeichnis.
	\item Fußnoten machen das Dokument übersichtlicher. Diese werden von Latex automatisch fortlaufend nummeriert.
	\item Wenn ihr Elemente in euer Protokoll einfügen wollt, die hier nicht aufgeführt sind wird Google euch helfen.\footnote{Tipp für Formeln: http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Stand: 24.10.2012}
	\item Verwendet wenn möglich immer Vektorgrafiken (*.pdf). 
	
 
\end{itemize}

%BibTex:Bitte auskommentieren/löschen wenn es nicht benötigt wird.
\nocite{Juergens:Latex}  %Im Text wird mit \cite{*} auf die Quelle verwiesen
\nocite{Kopka:Latex}


\bibliography{Quellen}
\bibliographystyle {plain}


\end{document}