120.md

120. 三角形最小路径和

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：

[
  [2],
  [3,4],
 [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

自顶向下的最小路径和为 11（即，$2 + 3 + 5 + 1 = 11$）。

说明：

如果你可以只使用 $O(n)$ 的额外空间（$n$ 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

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解法一：动态规划
思路：
使用自底向上的递推的方法。

1、状态定义：
$dp[i][j]$ 表示从点 $(i, j)$ 到底边的最小路径和。

2、状态转移：
$dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j]$

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

空间优化：
在实际递推中，计算 $dp[i][j]$ 时，只用到了下一行的 $dp[i + 1][j]$ 和 $dp[i + 1][j + 1]$。 因此 $dp$ 数组不需要定义 $N$ 行，只要定义 $1$ 行即可。

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0];
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(N^2)$，$N$ 为三角形的行数。
• 空间复杂度：未优化前复杂度为 $O(N^2)$，优化后复杂度为 $O(N)$, 其中 $N$ 为三角形的行数。